mały|Boki zacieniowanych kwadratów tworzą ciąg geometryczny o ilorazie jedna druga (1/2). Pola powierzchni tych kwadratów tworzą ciąg geometryczny o ilorazie jedna czwarta (1/4) mały|Ziarnka ryżu na szachownicy. Liczby ziaren na kolejnych polach tworzą tu ciąg geometryczny o ilorazie dwa (2)
Ciąg geometryczny, postęp geometryczny – rodzaj ciągu definiowany mnożeniem na kilka nierównoważnych sposobów. W takim ciągu prawie każdy wyraz – oprócz początkowego – jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej:
Formalnie – niech: będzie dodatnią liczbą naturalną: będzie zbiorem dodatnich indeksów, czyli lub
Wtedy ciąg nazywa się geometrycznym, jeśli:
Stała ta jest nazywana ilorazem ciągu. Czasem zakłada się dodatkowo, że jest różna od zera. Ciąg geometryczny można traktować jako mnożeniowy (multyplikatywny) odpowiednik ciągu arytmetycznego.
Przykłady Do definicji wąskiej Ciąg (1, 3, 9, 27, 81, ...) ma iloraz równy trzy (3). Ciąg ma iloraz równy minus jedna druga Ciąg samych zer (0, 0, 0, 0, 0, ...) nie ma jednoznacznego ilorazu. Założenie, że iloraz jest niezerowy, nie wyklucza tego przykładu. Mimo to ciąg zerowy bywa wykluczany z grona geometrycznych przez pewne jeszcze węższe definicje, podane dalej.
Do definicji szerokiej Ciąg (5, 0, 0, 0, 0, ...) ma iloraz równy 0.
Definicje równoważne mały|Wykres przykładowego ciągu geometrycznego w kartezjańskim układzie współrzędnych Wąskie Ciąg geometryczny wyróżnia się stałym stosunkiem wyrazów, co tłumaczy nazwę liczby jeśli to Ta definicja pociąga za sobą ponieważ zerowy iloraz oznaczałby zerowanie się licznika.
Szerokie Z początkowej, rekurencyjnej definicji wynika wzór: Oznacza to, że przy dodatnich ilorazach ciąg geometryczny jest przykładem funkcji wykładniczej.
Jeśli są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to prawdziwy jest wzór: Konsekwencje tego faktu podano niżej.
Własności Jeśli wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego są nieujemne, to prawie każdy wyraz ciągu geometrycznego jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich Geometric progression , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-27].. Wyjątki to wyrazy skrajne, inaczej krańcowe – początkowy i, jeśli istnieje, końcowy.
Ciąg geometryczny może być: ograniczony lub nie; okresowy lub nie; monotoniczny lub nie; zbieżny, nawet jeśli nie jest monotoniczny; rozbieżny do nieskończoności; całkiem rozbieżny; arytmetyczny lub nie.
Ciąg geometryczny o nieujemnym ilorazie (q⩾0) jest monotoniczny. W przypadku, gdy pierwszy wyraz jest nieujemny, a iloraz jest: równy 0, to ciąg jest ostatecznie stały, najdalej od drugiego wyrazu; większy od 0, ale mniejszy od 1, to wyrazy maleją wykładniczo – ciąg zbiega do zera; równy 1, to ciąg jest stały; większy od 1, to przy zerze na początku ciąg jest stały, ale przy dodatnim początku wyrazy rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny do nieskończoności.
Za to gdy początek jest dodatni, a iloraz jest: mniejszy od 0, a większy od −1, to wyrazy maleją wykładniczo (co do modułu) – ciąg zbiega do zera. równy −1, to ciąg jest naprzemienny, a przez to rozbieżny (granicami górnymi i dolnymi są pierwsze dwa wyrazy). mniejszy od −1, to moduły wyrazów ciągu geometrycznego rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny (nie ma granicy).
Powyższą listę przypadków podsumowuje tabela. Zbieżność ciągu zaznaczono zielonym tłem. + a1 q< –1 –1> –1, < 00> 0, < 11> 1< 0rozbieżnośćrozbieżność przez okresową naprzemienność zbieżność do zera od drugiego wyrazu ciąg stały wykładniczy wzrost do zera ciąg staływykładniczy spadek do minus nieskończoności0 ciąg stały> 0rozbieżnośćrozbieżność przez okresową naprzemienność zbieżność do zera od drugiego wyrazu ciąg stały wykładniczy spadek do zera ciąg staływykładniczy wzrost do nieskończoności Suma wyrazów Jeśli ciąg geometryczny ma iloraz to suma jego początkowych wyrazów wynosi: .
Jeśli ciąg jest nieskończony, to można rozpatrywać sumę szeregu o wyrazach będących elementami ciągu – zob. szereg geometryczny. Dowód Rozpatrzmy 2 przypadki: Niech ciąg geometryczny ma iloraz . Wówczas , a z definicji ciągu geometrycznego , stąd: .Mnożąc obie strony przez , otrzymujemy .Odejmując stronami pierwsze równanie od drugiego otrzymujemy .Wyłączając wspólny czynnik: .Ponieważ , można podzielić obie strony przez . Otrzymujemy: . Niech ciąg geometryczny ma iloraz . Wówczas . Łącząc oba przypadki: , q.e.d. Przypisy
Linki zewnętrzne Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej (ZPE MEN), zpe.gov.pl [dostęp 2025-04-27]: Ciąg geometryczny; Ciąg geometryczny; Przykłady ciągów geometrycznych; Ciąg geometryczny określony rekurencyjnie; Związek między wyrazami ciągu geometrycznego; Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego; Monotoniczność ciągu geometrycznego; Suma wyrazów ciągu geometrycznego; Ciąg geometryczny – zadania na dowodzenie; Ciąg geometryczny w zadaniach z historii matematyki; Zastosowanie ciągów geometrycznych; Zastosowanie wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
G