Zasadnicze twierdzenie algebry, podstawowe twierdzenie algebry – wspólna nazwa dwóch blisko powiązanych twierdzeń algebry i analizy zespolonej: każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek; stopień niezerowego wielomianu zespolonego jest równy sumie krotności jego pierwiastków. Oznacza to, że każdy wielomian zespolony rozkłada się na czynniki liniowe – można go przedstawić jako ich iloczyn:
Drugie twierdzenie jest konsekwencją pierwszego i twierdzenia Bézouta. Oba można też wyrazić w języku algebry abstrakcyjnej: ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte, a pierścień wielomianów zespolonych ma jednoznaczność rozkładu – należy do pierścieni Gaussa.
Twierdzenie to udowodnili na przełomie XVIII i XIX wieku Carl Friedrich Gauss i Jean-Robert Argand – ten pierwszy podał większość dowodu, a drugi go uzupełnił Arkadiusz Męcel, Zera funkcji kwadratowych, pismo „Delta”, listopad 2012, deltami.edu.pl [dostęp 2023-08-06]..
Uwaga Inaczej niż w przypadku zespolonym wygląda sprawa wielomianów rzeczywistych i ich pierwiastków rzeczywistych – wielomian stopnia może nie mieć wcale pierwiastków, a jeśli ma, to jest ich co najwyżej Natomiast każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (wynika to z faktu, że granice niewłaściwe wielomianu rzeczywistego stopnia nieparzystego w są różnych znaków, a także z faktu, że wielomian jako funkcja ciągła ma własność Darboux – a zatem musi przyjąć wartość pośrednią 0).
Historia Przed Gaussem dowody twierdzenia ogłaszało co najmniej sześciu innych matematyków: Jean Le Rond d’Alembert (1746); Leonhard Euler (1749); Daviet de Foncenex; Joseph Louis Lagrange (1772); Pierre Simon de Laplace (1812); James Wood.
Były one jednak niekompletne lub zawierały luki i dlatego nie zostały powszechnie uznane. W 1799 roku Carl Friedrich Gauss podał większość pierwszego poprawnego dowodu. Jego wywód również zawierał lukę, choć bardziej subtelną. Gauss podał cztery różne dowody w ciągu swojego życia. W 1926 roku Emil Artin i Otto Schreier podali pierwsze dowody algebraiczne.
Nazwa twierdzenia pojawiła się najpóźniej w drugiej połowie XIX wieku Jeff Miller, Fundamental theorem of algebra, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (F) , MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-08-06]..
O dowodach Dowody zasadniczego twierdzenia algebry można dzielić na „algebraiczne” i „analityczne” (tzn. odwołujące się do wyników i pojęć analizy matematycznej, szczególnie do ciągłości). Z reguły „bardziej algebraiczne” dowody są dłuższe i bardziej skomplikowane. Oprócz tego, nawet w „najbardziej algebraicznych” dowodach nie potrafimy uniknąć stosowania niektórych twierdzeń analizy matematycznej, a więc dowód nie będzie „zupełnie algebraiczny”. Twierdzenia analizy zespolonej takie jak twierdzenie Liouville’a czy twierdzenie Rouchégo, znacznie upraszczają dowód zasadniczego twierdzenia algebry.
W poniższych dowodach będą stosowane następujące znane fakty: funkcje wielomianowe są ciągłe (na płaszczyźnie zespolonej); Twierdzenie Weierstrassa o kresach: funkcja określona na przestrzeni zwartej o wartościach rzeczywistych osiąga swoje kresy, dokładniej jeśli jest przestrzenią zwartą, a jest rzeczywistą funkcją ciągłą na to istnieją takie punkty że
oraz
domknięte i ograniczone podzbiory płaszczyzny zespolonej są zwarte.
Dowód oparty na twierdzeniu Liouville’a Twierdzenie Liouville’a: ograniczona funkcja całkowita jest stała. Innymi słowy: jeżeli funkcja zespolona jest analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej i nie jest stała, to jest ona nieograniczona.
Niech będzie dowolnym wielomianem zespolonym stopnia dodatniego, tzn. wielomian nie jest funkcją stałą. Wiadomo, że wielomiany są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej. Z twierdzenia Liouville’a wynika, że funkcja jest nieograniczona. Wówczas dla dowolnego istnieje takie że w zewnętrzu okręgu (inaczej mówiąc, dla ) spełniona jest nierówność Niech i będą ustalonymi liczbami o tych własnościach.
Przypuśćmy, że wielomian nie ma żadnego pierwiastka zespolonego, tzn. dla każdej liczby zespolonej Wówczas funkcja dana wzorem:
jest określona na całej płaszczyźnie, a ponadto analityczna. Wówczas dla zachodzi nierówność:
ponieważ dla
Należy teraz rozpatrzeć, co dzieje się z wartościami funkcji w kole Rozważmy funkcję
która przyjmuje wartości rzeczywiste. Ponieważ koło domknięte jest zbiorem zwartym, istnieje więc taki jego element że:
Wynika stąd, że:
Możemy tym samym oszacować funkcję na całej płaszczyźnie:
Wówczas z twierdzenia Liouville’a wynika, że jest stała, ale wtedy:
też jest stała, co jest sprzeczne z przypuszczeniem, a zatem wielomian ma pierwiastek zespolony.
Przykład innego dowodu Wystarczy wykazać, że dla każdego wielomianu zespolonego
istnieje taka liczba zespolona że
Lemat 1 Jeśli jest niezerowym wielomianem o współczynnikach zespolonych, to
Dowód Niech
Wówczas
gdzie:
Z ciągłości funkcji wielomianowej oraz faktu, że dla pewnego spełniony jest warunek
o ile tylko Stąd, jeśli
to
Podstawiając dostajemy
dla wszystkich
Ostatecznie:
oraz
gdy
Istnieje więc takie że teza lematu jest spełniona, mianowicie:
Lemat Cauchy’ego Dla każdego wielomianu o współczynnikach zespolonych, dla którego istnieje taka liczba że minimum funkcji jest osiągnięte w kole
Dowód Niech
przy czym Niech ponadto
Wówczas z Lematu 1 wynika, iż poza kołem spełniona jest nierówność Ponieważ koło jest zbiorem zwartym, funkcja przyjmuje w nim minimum lokalne dla pewnego spełniającego W szczególności, Zatem jest również minimum globalnym funkcji
Lemat 2 Niech będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych, spełniającym warunek oraz niech będzie dowolną liczbą naturalną. Wówczas dla każdej niezerowej liczby zespolonej istnieje taka liczba zespolona że
Dowód Niech i będą takie jak wyżej. Z ciągłości funkcji wielomianowej wynika, iż istnieje takie że
o ile Niech będzie niezerową liczbą zespoloną. Wówczas
Niech wówczas dla
Dla każdego istnieje które spełnia powyższą równość.
Jeżeli jest takie, że to:
i twierdzenie zachodzi, ale żeby było to musi być czyli:
Lemat d’Alemberta-ArgandaJ.R. d’Alembert, Recherches sur le calcul intégral, The Histoire de l’Académie des Sciences et des Belles-Lettres (1746) 182–192.J.R. Argand, Philosophie mathématique. Réflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivies d’une application à la démonstration d’un théorème d’analyse, „Annales de Mathématiques Pures et Appliquées” 5 (1814–1815), 197–209. Niech będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia co najmniej pierwszego, który spełnia warunek Dla każdej liczby zespolonej dla której istnieje taka liczba że
Dowód
przy czym Z Lematu 2 wynika, że istnieje taka liczba zespolona iż
czyli
Przyjmując otrzymuje się tezę.
Dowód zasadniczego twierdzenia algebry Z lematu Cauchy’ego i d’Alemberta-Arganda wynika dowód tezy postawionej na początku. Załóżmy bowiem, że i nie istnieje takie że Wówczas z lematu Cauchy’ego wiemy, że istnieje taki promień że minimum globalne jest przyjęte w kole dla pewnego Założyliśmy jednak, że jest zawsze większe od a wtedy z lematu d’Alemberta-Arganda wynika, że istnieje takie, że co stoi w sprzeczności z tym, że w punkcie funkcja przyjmuje minimum globalne, a zatem musi być
Zobacz też zasadnicze twierdzenie arytmetyki twierdzenie Abela-Ruffiniego
Przypisy
Bibliografia
Źródła historyczne
C. F. Gauss, “Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree”, 1815
Linki zewnętrzne – inny dowód twierdzenia. Piotr Stachura, Zasadnicze Twierdzenie Algebry, kanał „Khan Academy po polsku” na YouTube, 17 sierpnia 2017 [dostęp 2023-08-06]. Paweł Lubowiecki, Liczby zespolone cz. VIII. Zasadnicze twierdzenie algebry, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 lutego 2024 [dostęp 2024-09-07]. Algebra, fundamental theorem of , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Twierdzenia o wielomianach Kategoria:Analiza zespolona