Przestrzeń mierzalna

Przestrzeń mierzalna – przestrzeń wraz z wyróżnioną rodziną jej zbiorów nazywaną σ-ciałem lub σ-algebrą zbiorów lub ciałem przeliczalnie addytywnym, do której należą zbiór pusty, dopełnienie dowolnego zbioru z rodziny oraz suma dowolnej przeliczalnej liczby jej zbiorów (skończonej lub nieskończonej).

Przestrzenie, które są mierzalne, mogą być wyposażone w miarę, tj. funkcję, która pozwala dokonywać pomiarów (obliczeń) na podzbiorach tej przestrzeni, takich jak długość, obwód, pole powierzchni, objętość, prawdopodobieństwo, itd. Przestrzeniami z miarą nazywa się przestrzenie wyposażone w miarę.

Przeciwnie - w przestrzeniach niemierzalnych nie da się wprowadzić żadnej miary.

Przestrzenie mierzalne bada się więc głównie w teorii mnogości, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa, w ostatnich dwóch dziedzinach w powiązaniu z miarami (w drugim przypadku: miarami probabilistycznymi), które są funkcjami przestrzeni mierzalnych w zbiór liczb rzeczywistych.

Wprowadzenie We wczesnych latach rozwoju teorii miary i teorii mnogości zauważono, że przyjmując aksjomat wyboru można skonstruować podzbiory liczb rzeczywistych, które nie są mierzalne w sensie Lebesgue'a (tj. nie można przypisać im miary Lebesgue’a). Przykładem jest zbiór Vitalego.

Aby ustrzec się tego rodzaju problemów poszukiwano kryteriów, jakie powinny spełniać zbiory mierzalne (a więc takie, którym można przypisać miarę). Pierwotnie zakładano, że zbiory te powinny tworzyć rodziny zbiorów zamknięte na podstawowe operacje: przekrój, sumę oraz dopełnienie. Przy tym zakładano, że można wykonywać skończoną liczbę sumowań. Rodziny zbiorów spełniające powyższe wymogi nazywa się współcześnie ciałami zbiorów (lub algebrami zbiorów), a rozpatrywane na nich miary nazywa się miarami skończenie addytywnymi.

Prawdziwy przełom przyniosło rozszerzenie warunku zamkniętości rodziny zbiorów mierzalnych na przeliczalne (a nie tylko skończone) sumy zbiorów. Zbiory te nazwano σ-ciałami. W ten sposób uogólniono definicję miar do miar przeliczalnie addytywnych (nazywanych dziś po prostu miarami).

Nie jest to jedyne rozwiązanie. Np. zrezygnowanie z aksjomatu wyboru na rzecz aksjomatu determinacji powoduje, że wszystkie podzbiory zbioru liczb rzeczywistych stają się wtedy mierzalne (twierdzenie Mycielskiego–ŚwierczkowskiegoJan Mycielski, Stanisław Świerczkowski: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. „Fundamenta Mathematicae”. 54 (1964), s. 67–71.). Podobnie mierzalne okazują się podzbiory liczb rzeczywistych spełniające zadość odpowiednim aksjomatom dużych liczb kardynalnych. Powyższe aksjomaty są jednak w wielu zastosowaniach zbyt restrykcyjne i mają raczej znaczenie teoretyczne.

Definicje Niech będzie ustaloną przestrzenią.

Df. 1 σ-ciało Rodzinę zbiorów przestrzeni nazywa się σ-ciałem lub przeliczalnie addytywnym ciałem podzbiorów przestrzeni , jeżeli:

(a1) zbiór pusty należy do

(a2) dopełnienie zbioru należącego do należy do

(a3) suma przeliczalnie wielu zbiorów należących do należy do

Df. 2 Zbiory mierzalne Jeżeli dana jest przestrzeń oraz ustalone jest w niej σ-ciało to zbiory należące do σ-ciała nazywa się zbiorami mierzalnymi względem σ-ciała , -mierzalnymi lub po prostu mierzalnymi.

Df. 3 Przestrzeń mierzalna. Przestrzeń z miarą Parę złożoną z przestrzeni i określonego na niej σ-ciała nazywa się przestrzenią mierzalną.

Trójkę – nazywamy przestrzenią z miarą, gdzie – miara wprowadzona w przestrzeni.

Podstawowe własności Tw. Jeżeli jest σ-ciałem podzbiorów w przestrzeni , to:

(b1)

(b2)

(b3)

Własności (a1)-(a3) oraz (b1)-(b3) oznaczają, że jeżeli do należą zbiory , to należą ich sumy i iloczyny, i to nawet nieskończone, a także ich dopełnienia oraz różnice. Mowimy, że rodzina zbiorów jest zamknięta względem operacji przeliczalnego dodawania, przeliczalnego mnożenia oraz odejmowania.

Dowód:

(b1) na mocy (a1) i (a2).

(b2) na podstawie (a2) i (a3).

(b3) na podstawie (a2) i (b3).

σ-ciała generowane przez rodziny zbiorów σ-ciało generowane przez dowolną rodzinę Niech będzie dowolną rodziną podzbiorów zbioru przy czym nie musi być ona σ-ciałem. Wówczas istnieje jednoznacznie wyznaczone, najmniejsze σ-ciało zawierające każdy zbiór należący do rodziny Określa się ją jako część wspólna wszystkich σ-ciał zawierających Oznacza się ją i nazywa σ-ciałem generowanym przez rodzinę

Jeśli jest zbiorem pustym, to W przeciwnym przypadku zawiera ona wszystkie zbiory przestrzeni które można uzyskać z elementów za pomocą przeliczalnej ilości sum zbiorów, dopełnień i przekrojów. W przypadku rodziny zawierającej pojedynczy zbiór nadużywa się często notacji pisząc zamiast czy zamiast w przypadku większej ich liczby.

σ-ciało generowane przez funkcję Jeśli jest funkcją przestrzeni w przestrzeń a jest σ-ciałem zbiorów w to σ-ciałem generowanym przez funkcję oznaczanym nazywa się zbiór wszystkich przeciwobrazów zbiorów należących do tj.

Funkcję nazywa się funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem

Gdy nie jest wyraźnie określona, powszechnie rozumie się, że gdy jest przestrzenią metryczną lub topologiczną, to jest rodziną zbiorów borelowskich przestrzeni

σ-ciała borelowskie i Lebesgue’a Ważnym przykładem jest wspomniane wyżej σ-ciało zbiorów borelowskich nad dowolną przestrzenią topologiczną generowane przez zbiory otwarte (lub równoważnie: domknięte). Zwykle to σ-ciało nie jest niewłaściwe (tj. nie jest zbiorem potęgowym przestrzeni, zob. Przykłady); nietrywialnym przykładem zbioru nie-borelowskiego jest zbiór Vitalego.

W przestrzeniach euklidesowych doniosłe znaczenie ma σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a. σ-ciało Lebesgue'a zawiera σ-ciało zbiorów borelowskich przestrzeni euklidesowych; ponadto zawiera zbiory miary zero oraz wszystkie ich podzbiory; ta druga własność sprawia, że miara Lebesgue'a zdefiniowana na tym σ-ciele jest zupełna i z tego powodu jest preferowana w teorii całkowania.

σ-ciało produktowe Niech i będą przestrzeniami mierzalnymi. Rodzina

jest π-układem w przestrzeni produktowej σ-ciało produktowe określamy w naturalny sposób jako generowane przez tę rodzinę:

Powyższą definicję można indukcyjnie uogólnić na skończoną liczbę przestrzeni mierzalnych.

Przykłady (1) Niech będzie niepustym zbiorem. Wówczas następujące rodziny podzbiorów są σ-ciałami na

rodzina złożona ze zbioru pustego i przestrzeni ; jest to najmniejsze σ-ciało przestrzeni ; nazywa się je trywialnym, rodzina wszystkich podzbiorów przestrzeni ; jest to największe σ-ciało przestrzeni ; nazywa się je niewłaściwym lub dyskretnym, rodzina wyznaczona dla danego zbioru

(2) Niech będzie σ-ciałem podzbiorów a będzie σ-ideałem podzbiorów Wówczas σ-ciałem generowanym przez jest zbiór

gdzie oznacza operację różnicy symetrycznej.

W szczególności, gdy jest σ-ciałem podzbiorów borelowskich prostej rzeczywistej a oznacza σ-ideał zbiorów miary zero (w sensie Lebesgue’a), zaś jest σ-ideałem zbiorów mizernych (pierwszej kategorii w sensie Baire’a), to jest zbiorem typu Gδ jest σ-ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a oraz jest zbiorem otwartym jest σ-ciałem zbiorów o własności Baire’a. Zatem przestrzeń jest mierzalna w sensie Lebesgue’a (tj. z miarą Lebesgue’a).

Zobacz też funkcja mierzalna σ-pierścień π-układ, λ-układ, klasa monotoniczna przestrzeń probabilistyczna

Przypisy

Bibliografia Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2012.

Literatura dodatkowa

Linki zewnętrzne Measure space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

Kategoria:Teoria miary Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa