Arytmetyzacja języka lub arytmetyzacja składni – metoda efektywnego numerowania wszystkich wyrażeń języka badanej teorii za pomocą liczb naturalnych. Wprowadzona przez Kurta Gödla, pojawia się w dowodzie twierdzenia nazwanego jego nazwiskiem.
Aby każdemu wyrażeniu przyporządkować pewną liczbę, przyporządkowuje się najpierw pewne liczby podstawowym znakom teorii (znaki stałe, znaki zmienne), a następnie dowolnym wyrażeniom, czyli ciągom skończonym znaków elementarnych. W rezultacie każde wyrażenie A rozważanej teorii – niezależnie czy jest nim znak elementarny, czy ciąg znaków (formuła), czy też ciąg ciągów znaków (ciąg formuł) – posiada przyporządkowany mu jednoznacznie pewien numer Funkcja przekształca w sposób wzajemnie jednoznaczny wyrażenia teorii w pewien podzbiór zbioru liczb naturalnych. Zamiast mówić o własnościach zbioru wyrażeń (obliczalność, rekurencyjna przeliczalność) można mówić o własnościach zbioru ich numerów.
Przykład Dziewiętnastu znakom teorii arytmetyki można przyporządkować 19 kolejnych liczb naturalnych zgodnie z tabelą: {| class="wikitable" style="text-align:center" align="center"
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19
Jeżeli jest jednym z powyżej wypisanych 19 znaków podstawowych, to przez oznaczymy przyporządkowaną mu liczbę w tabeli. Każdemu wyrażeniu będącemu ciągiem symboli podstawowych
można przyporządkować numer
gdzie oznacza -tą liczbę pierwszą. Na przykład wyrażeniu „” odpowiada numer
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Arithmetization , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Logika matematyczna