Twierdzenie Zsigmondy’ego – twierdzenie w teorii liczb dostarczające informacji o dzielnikach pierwszych różnicy n-tych potęg względnie pierwszych liczb naturalnych. Twierdzenie to zostało udowodnione przez austro-węgierskiego matematyka Karla Zsigmondy’ego w 1892 roku.
Twierdzenie Zsigmondy’ego znajduje zastosowanie m.in. w teorii grup, gdzie jest wykorzystywane, by wykazać, że pewne grupy mają różny rząd.
Twierdzenie Niech i będą względnie pierwszymi liczbami całkowitymi oraz Wówczas dla każdej liczby całkowitej liczba ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy który nie dzieli żadnej z liczb dla chyba że ma miejsce jeden z poniższych wyjątków: oraz wtedy liczba oczywiście nie ma żadnych dzielników pierwszych, oraz jest potęgą dwójki; wtedy liczby i są obie parzyste, ponadto każdy nieparzysty dzielnik pierwszy liczby dzieli również wówczas łatwo sprawdzić, że liczba nie ma nowych dzielników pierwszych, ponieważ oraz
Wersja z dodawaniem Gdy są różne i względnie pierwsze oraz jest dowolną liczbą całkowitą, to poza wyjątkiem liczba ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy który nie dzieli żadnej z liczb dla
Powyższe twierdzenie jest prostym wnioskiem z twierdzenia Zsigmondy’ego.
Dowód Przypadek jest trywialny.
Dla ustalmy liczby i przy czym bez straty ogólności niech Jeżeli nie zachodzi wspomniany wyjątek, to twierdzenie Zsigmondy’ego gwarantuje istnienie dzielnika pierwszego liczby takiego, że dla Wówczas dzieli liczbę
jednak nie dzieli Stąd Załóżmy teraz, że dla pewnego Wówczas co wobec nierówności jest sprzeczne z definicją liczby Zatem niemożliwe jest, by dla To kończy dowód.
Zobacz też lemat o zwiększaniu wykładnika p-adycznego liczby Mersenne’a wielomian cyklotomiczny
Przypisy
Z