mały|Koło Pole koła – wielkość geometryczna określająca miarę powierzchni ograniczonej przez okrąg o promieniu . Pole koła wyraża się wzorem .
Dowód mały|Dowód wzoru na pole koła przy użyciu wielokątów foremnych Rozważmy okrąg o promieniu . W okrąg wpiszmy wielokąt foremny. Wielokąt ten można podzielić na jednakowe trójkąty o wspólnym wierzchołku w środku okręgu.
Niech:
oznacza długość jednego boku wielokąta, oznacza wysokość pojedynczego trójkąta, oznacza liczbę boków wielokąta.
Obwód wielokąta foremnego jest równy długości jego boków przemnożonej przez ich ilość .
Pole jednego trójkąta wynosi , więc pole całego wielokąta jest więc równe .
Długość okręgu wynosi . Dodatkowo wysokość każdego trójkąta dąży do promienia okręgu .
W granicy liczby boków dążącej do nieskończoności pole wielokąta staje się polem koła, zatem:
, q.e.d.
Można także skorzystać z twierdzenia o półobwodzie, wówczas okręgiem wpisanym w okrąg będzie on sam, więc jego promień będzie równy promieniowi tego okręgu. Można więc zapisać , q.e.d.
Zobacz też
długość okręgu
Przypisy
Kategoria:Okręgi (geometria) Kategoria:Geometria