Ułamki proste – składniki pewnej sumy, w postaci której przedstawia się dowolną funkcję wymierną, w której stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Każdy ułamek prosty jest ułamkiem o następujących własnościach: mianownik jest potęgą pewnego wielomianu nierozkładalnego, licznik jest wielomianem stopnia mniejszego od stopnia nierozkładalnego wielomianu występującego w mianowniku (niepodniesionego do żadnej potęgi większej od 1).
Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę pewnego wielomianu i pewnej funkcji wymiernej, w której stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. Przedstawienie tej ostatniej funkcji wymiernej w postaci sumy ułamków prostych nazywa się rozkładem funkcji na ułamki proste.
To, jakie wielomiany są nierozkładalne, zależy od ciała, nad którym je rozważamy. Przykładowo, w ciele liczb rzeczywistych istnieją wielomiany nierozkładalne stopnia 1 i 2, w ciele liczb zespolonych jedynie stopnia 1, zaś w ciele liczb wymiernych istnieją wielomiany nierozkładalne dowolnie wysokich stopni.
Rozkład na ułamki proste ułatwia obliczanie całek, a także rozwiązywanie równań różniczkowych.
Możliwe postaci ułamka prostego W ciele ułamków nad pierścieniem wielomianów o współczynnikach rzeczywistych:
W ciele ułamków nad pierścieniem wielomianów o współczynnikach zespolonych
Przykłady rozkładu tutaj tutaj
Aby znaleźć współczynniki stosuje się metodę współczynników nieoznaczonych. W tym celu wystarczy prawą stronę sprowadzić do wspólnego mianownika i wielomian w jej liczniku uporządkować według zmiennej. Na przykład w ostatnim punkcie powstanie wielomian
Przyrównując współczynniki przy kolejnych potęgach zmiennej do odpowiednich współczynników wielomianu z lewej strony (tu jest wielomian stały) otrzymuje się układ równań, po rozwiązaniu którego otrzymuje się wartości współczynników
Przypisy
Linki zewnętrzne Rafał Brociek i Bartłomiej Pawlik, Rozkład na ułamki proste, „Matematyka i Informatyka na Uczelniach Technicznych” (MINUT) – Politechnika Śląska, minut.polsl.pl, , 2019 [dostęp 2026-01-17]. Szymon Charzyński, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-23]: Rozkład na ułamki proste cz. 1, 26 czerwca 2013. Rozkład na ułamki proste cz. 2, 26 czerwca 2013. Rozkład na ułamki proste cz. 3, 26 czerwca 2013. Całkowanie funkcji wymiernej przez rozkład na ułamki proste, 31 maja 2015.
Kategoria:Funkcje wymierne