Funkcja meromorficzna – funkcja określona na otwartym podzbiorze płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze gdzie oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji .

Termin ten pochodzi od greckiego meros (μέρος), oznaczającego „część”.

Przykłady thumb|Funkcja Γ jako przykład funkcji meromorficznej|219x219pxFunkcjami meromorficznymi są:

wszystkie funkcje wymierne, np.

mały|258x258px|Funkcja logarytmiczna nie jest funkcją meromorficzną - oś helisy stanowi punkt rozgałęzienia (pokazano tu wykres jej części urojonej).

jest funkcją meromorficzną o nieskończenie wielu biegunach. , ,

Funkcja Γ (gamma Eulera), funkcja ζ (dzeta Riemanna)

Funkcjami meromorficznymi nie są:

wszystkie (niewymierne) funkcje algebraiczne (np.) funkcja logarytmiczna dowolna funkcja mająca punkt rozgałęzienia oraz każda funkcja posiadająca zasadniczą osobliwość, gdzie indziej niż w nieskończoności wszystkie funkcje posiadające kumulację osobliwości (np.: punkt generujący szereg podziałów ).

Twierdzenia I Każda funkcja holomorficzna jest meromorficzna. Funkcje wymierne, w szczególności homograficzne, są funkcjami meromorficznymi. Każda funkcja meromorficzna na płaszczyźnie domkniętej (tzn. na Sfera Riemanna ), jest funkcją wymierną. Funkcje eliptyczne są „dwuokresowymi” funkcjami meromorficznymi określonymi na Funkcje modularne, czyli funkcje meromorficzne określone na górnej półpłaszczyźnie hiperbolicznej, są niezmiennicze na działanie grupy modularnej; w szczególności istnieje tzw. niezmiennik j.

Twierdzenia II Tw. 1 Każdą funkcję meromorficzną na sferze Riemanna można wyrazić za pomocą ilorazu dwóch funkcji holomorficznych:

przy czym funkcja nie może być stale równa Zbiór biegunów jest zbiorem zer funkcji

Tw. 2 Jeżeli zbiór jest spójny, to zbiór wszystkich określonych na nim funkcji meromorficznych tworzy ciało (które można utożsamiać z ciałem ułamków pierścienia funkcji holomorficznych w ).

Tw. 3 Funkcje meromorficzne można utożsamiać z odwzorowaniami powierzchni Riemanna

gdzie oznacza sferę Riemanna, nazywana okresem funkcji

Przypisy

Zobacz też biegun (analiza zespolona)

Bibliografia

Linki zewnętrzne Funkcje meromorficzne na MathWorld

Kategoria:Analiza zespolona