Płaszczyzna Niemyckiego – przykład przestrzeni topologicznej szeroko wykorzystywany jako kontrprzykład w wielu pytaniach dotyczących topologii ogólnej. Konstrukcja płaszczyzny Niemcykiego pojawiła się w książce Topologie I Pawła Aleksandrowa i Heinza Hopfa z roku 1935. Autorzy sam pomysł przykładu przypisują Wiktorowi Niemyckiemu.
Konstrukcja Niech będzie górną półpłaszczyzną zawierającą oś odciętych, tzn. niech
W zbiorze można wprowadzić topologię poprzez określenie bazy otoczeń każdego punktu jeśli i to niech gdzie a oznacza standardową odległość na płaszczyźnie, jeśli to niech gdzie a
Przestrzeń topologiczna nazywana jest płaszczyzną Niemyckiego.
Własności Płaszczyzna Niemyckiego jest ośrodkową przestrzenią Tichonowa (ośrodkiem tej przestrzeni jest, na przykład, zbiór tych punktów, które mają obydwie współrzędne wymierne). Przestrzeń ta zawiera domkniętą dyskretną podprzestrzeń mocy continuum (np. zbiór jest dyskretny i mocy continuum). W szczególności, jako przestrzeń ośrodkowa zawierająca podprzestrzeń dyskretną mocy continuum, nie jest przestrzenią normalną. Każdy domknięty podzbiór płaszczyzny Niemyckiego jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych. Przestrzeń jest zupełna w sensie Čecha.
Bibliografia
Kategoria:Przykłady przestrzeni topologicznych Kategoria:Polskie odkrycia matematyczne