mały|Wielomiany bazowe Bernsteina na przedziale [0, 1] stopnia 0, 1, 2|299x299px Wielomiany Bernsteina – wielomiany wprowadzone w 1912 roku przez Siergieja Bernsteina w dowodzie twierdzenia Weierstrassa o przybliżeniu funkcji ciągłych. Wielomiany te stanowią jedną z możliwych baz, jakie można wybrać w celu aproksymacji danej funkcji.
Wielomiany bazowe Bernsteina służą do przedstawiania szeroko stosowanych w grafice komputerowej: krzywych Béziera, płatów Béziera i wywodzących się z nich innych rodzajów krzywych i powierzchni (w publikacjach tyczących grafiki komputerowej często pomija się przymiotnik bazowe i używa po prostu określenia wielomiany Bernsteina).
Wielomiany o dziedzinie [0, 1] Niech dana będzie funkcja Funkcję można aproksymować na przedziale za pomocą wielomianu Bernsteina stopnia n danego wzorem:
gdzie to wielomiany bazowe Bernsteina określone na przedziale , dane wzorami , gdzie oznacza symbol Newtona.
W powyższej sumie obliczane są wartości funkcji w równo rozłożonych punktach przedziału Liczby stanowią współczynniki rozwinięcia funkcji w bazie wielomianów bazowych Bernsteina. Im wyższy stopień wielomianu aproksymującego, tym dokładniejsza jest aproksymacja danej funkcji wielomianem Bernsteina na przedziale
Wielomiany o dziedzinie [a, b] Niech dana będzie funkcja gdzie są dowolnym liczbami rzeczywistymi. Funkcję tę można aproksymować na przedziale za pomocą wielomianu Bernsteina stopnia n danego wzorem
Wartości funkcji obliczane są w równo rozłożonych punktach przedziału Liczby stanowią współczynniki rozwinięcia funkcji w bazie wielomianów bazowych Bernsteina.
Program do aproksymacji wielomianami Bernsteina mały|300x300px|Aproksymacja funkcji piłokształtnej wielomianami Bernsteina stopnia n = 5, 20, 100, 1000 na przedziale [1, 3]. Wykres pokazuje gładkie mostkowanie punktów nieciągłości oraz brak oscylacji (efektu Gibbsa) Obok pokazano grafikę, przedstawiającą funkcję piłokształtną, określoną na przedziale oraz jej aproksymację za pomocą wielomianów Bernsteina stopni Widać, że wielomiany Bernsteina nie są symetryczne (prawy ząb piły jest lepiej aproksymowany); im większy stopień wielomianu, tym lepsza aproksymacja danej funkcji . W opisie grafiki podano kod w języku Python (trzeba kliknąć na grafikę i przejść do szczegółów jej opisu). Użytkownik może zmieniać definicję funkcji (w linii 27 programu) oraz ustalić stopnie wielomianów aproksymujących (w linii 31 programu). Program korzysta z bibliotek Pythona: matplotlib, numpy, scipy.
Własności wielomianów bazowych Bernsteina
Zależność rekurencyjna Wielomiany bazowe spełniają zależność rekurencyjną:
Rozkład jedynki
Dodatniość dla
Symetria
Iloczyn
Pochodna
Reprezentacja za pomocą wielomianów wyższego stopnia
Aproksymacja jednostajna Niech będzie funkcją ciągłą. Wówczas ciąg wielomianów Bernsteina jest jednostajnie zbieżny do funkcji
Wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych Wielomiany te dane są wzorem:
i używane do określenia trójkątnych płatów Béziera.
Własność
Zobacz też aproksymacja aproksymacja wielomianowa przestrzeń liniowa twierdzenie Stone’a-Weierstrassa wielomiany Tonellego
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-13]. Bernstein polynomials , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Rodzaje wielomianów