mały|Pierwsza strona artykułu „Invariante Variationsprobleme” (1918), w którym Noether dowiodła swojego twierdzenia.
Twierdzenie Noether – twierdzenie udowodnione przez Emmy Noether, dotyczące związku zasad zachowania z symetriami ciągłymi. Ma fundamentalne znaczenie w fizyce.
Symetrie ciągłe, grupy symetrii, generatory, grupy Liego Symetrie ciągłe to np. obroty, translacje. Symetrie tworzą grupę. Każda symetria jest opisana jednym parametrem i jednym generatorem. Generatory grupy symetrii tworzą grupę, tzw. grupę Liego.
Spośród grup symetrii ważną rolę w fizyce odgrywają: grupa obrotów w przestrzeni euklidesowej SO(n) grupa translacji w przestrzeni euklidesowej grupa transformacji ortogonalnych w przestrzeni euklidesowej O(n) grupa Lorentza obrotów w przestrzeni pseudoeuklidesowej grupa Poincarégo grupa przekształceń unitarnych U(n) oraz SU(n).
Twierdzenie Noether Każda ciągła symetria praw fizyki, czyli taka, która nie zmienia równań opisujących prawa fizyki lub działania S, tj. wielkości definiowanej przez mechanikę Lagrange’a generuje tyle praw zachowania, ile jest niezależnych parametrów opisujących daną grupę Liego lub generatorów grupy Liego.
Symetrie dyskretne Symetrie dyskretne mogą generować prawa zachowania (np. symetria inwersji generuje zachowanie parzystości ), ale nie muszą (np. inwersja w czasie nie generuje prawa zachowania).
Przykład: symetrie ciągłe W mechanice klasycznej obowiązują np. zasady zachowania energii, pędu i momentu pędu. Te trzy zasady można traktować jako konsekwencje odpowiednich symetrii:
Zasada zachowania energii wynika z niezmienniczości działania względem przesunięcia w czasie: jeżeli działanie S opisujące dany ruch układu nie zależy od czasu, to energia układu jest zachowana. Jeżeli natomiast układ absorbuje lub emituje energię, to wówczas działanie jest funkcją czasu – w konsekwencji energia układu zmienia się. Zasada zachowania pędu odzwierciedla niezmienniczość działania S (oraz równań ruchu opisujących układ) względem przesunięcia układu w przestrzeni. Gdy rozpatrujemy translacje w przestrzeni Minkowskiego, to zasadę zachowania pędu określa się jako zachowanie tensora energii-pędu. Zasada zachowania momentu pędu wiąże się z niezmienniczością działania S (oraz równań ruchu opisujących układ) względem obrotu układu. Jeśli obroty rozpatrujemy w przestrzeni Minkowskiego, to zasada ta oznacza zachowanie całkowitego momentu pędu, tzn. włącznie ze spinowym (Patrz np. równanie Diraca, operator spinu) Zasada zachowanie ładunku wynika z niezmienniczości funkcji falowej elektronu względem transformacji cechowania, takiej że:
Transformacje generowane są przez ciągły kąt Istnieje więc jeden generator, który tworzy prostą grupę Liego jednowymiarowych macierzy unitarnych Gdy zmiana kąta w czasie i przestrzeni nie zmienia podstawowych praw fizyki, to lokalna grupa cechowania wskazuje na istnienie fundamentalnego oddziaływania elektromagnetycznego.
Zobacz też całka ruchu niezmiennik symetria unitarna zasada najmniejszego działania
Przypisy
Linki zewnętrzne Noether theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-06]. The Biggest Misconception in Physics , kanał „Veritasium” na YouTube, 14 kwietnia 2025 [dostęp 2026-01-11].
Noether Noether Kategoria:Mechanika teoretyczna Kategoria:Prawa w mechanice kwantowej Kategoria:Zasady zachowania