mały| mały|Wykres funkcji sinh mały|Wykres funkcji cosh to krzywa łańcuchowa. mały|Wykresy funkcji sinus, cosinus i tangens hiperboliczny mały|Wykresy funkcji cotangens, secans i cosecans hiperboliczny
Funkcje hiperboliczne – zbiór sześciu funkcji zdefiniowanych przez działania arytmetyczne na funkcji wykładniczej: +nazwasymbolewzorysinus hiperbolicznycosinus hiperbolicznytangens hiperbolicznycotangens hiperbolicznysecans hiperbolicznycosecans hiperboliczny Funkcje te mogą mieć dziedzinę rzeczywistą lub zespoloną i zalicza się je do funkcji elementarnych. Mają własności analogiczne do funkcji trygonometrycznych. Nazwę swoją zawdzięczają temu, że para liczb (cosh(t),sinh(t)) tworzy wykres hiperboli (jej prawej, dodatniej części).
Przez funkcje hiperboliczne można definiować funkcje polowe, inaczej funkcje area lub areafunkcje – są to funkcje odwrotne tych hiperbolicznych, wyrażane też przez logarytmy.
Dzieje Do nauki wprowadził je włoski matematyk Vincenzo Riccati, który publikował swoje rozważania w Opusculorum ad res physicas et mathematicas pertinentium, wydawanym między 1757 a 1762 rokiemRobert E. Bradley, Lawrence A. D’Antonio, Charles Edward Sandifer, Euler at 300: an appreciation, Mathematical Association of America, 2007, s. 100.. Nadał im on nazwy sinus i cosinus hiperbolico i zastosował skróty Sh i Ch, stosowane do dziś w Rosji i we Francji.
Szwajcarski matematyk Johann Heinrich Lambert upowszechnił te funkcje, pokazując ich zastosowanie w trygonometrii w dziele Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques (1762). Lambert zostawił im nazwy zaproponowane przez Riccatiego, ale nadał im skróty sinh i cosh stosowane do dziśGeorg F. Becker, Hyperbolic functions, Read Books, 1931, s. xlviii..
Związki trygonometryczne
Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych postaci jest okręgiem (jednostkowym), analogicznie zbiór punktów o współrzędnych postaci wyznacza hiperbolę.
Prawdziwe są również wzory:
Ponadto korzystając ze wzoru Eulera
można przedstawić związek funkcji hiperbolicznych z trygonometrycznymi, wyrażony w liczbach zespolonych:
skąd:
Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe wzdłuż osi liczb rzeczywistych, to funkcje hiperboliczne są okresowe wzdłuż osi liczb urojonych z okresem (sinh, cosh, sech, csech), albo (tgh, ctgh).
Własności Sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i funkcją rosnącą. Cosinus hiperboliczny jest funkcją parzystą i funkcją rosnącą dla i malejącą dla Tangens hiperboliczny jest funkcją nieparzystą.
Jeśli oznacza złotą proporcję, to:
Zależności hiperboliczne
Odpowiednikiem „jedynki trygonometrycznej”
jest tzw. „jedynka hiperboliczna”:
Z każdej tożsamości trygonometrycznej można otrzymać tożsamość hiperboliczną przez użycie związku pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi.
Pochodne i całki
+
Rozwinięcia Szeregi potęgowe
Iloczyny nieskończone
Przypisy
Linki zewnętrzne
Hyperbolic functions , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
H