Lemat Barbălata – twierdzenie analizy matematycznej udowodnione w 1959 przez Ioana BarbălataI. Barbălat, Systèmes d’équations différentielles d’oscillations non Linéaires, Rev. Math. Pures Appl. 4 (1959), 267–270., które mówi, że jeżeli funkcja
jest jednostajnie ciągła oraz całka niewłaściwa
istnieje i jest skończona, to .
Dowód Rozumując nie wprost: niech nie zbiega do gdy Oznacza to, że dla pewnego oraz wszelkich istnieje takie że
Niech będzie liczbą odpowiadającą w definicji jednostajnej ciągłości, którą spełnia z założenia Oznacza to, że
o ile tylko
Stąd dla wszelkich zachodzi
co wobec dodatniości oznacza
Z jednej strony więc
przy równość (*) wynika stąd, że funkcja w przedziale nie zmienia znaku; gdyby bowiem zmieniała, to jako funkcja ciągła musiałaby, wbrew wykazanej zależności , osiągać w pewnym punkcie przedziału wartość 0 (zob. własność Darboux). Nierówność (**) wynika bezpośrednio z .
Z drugiej jednak strony,
co prowadzi do sprzeczności.
Uogólnienie G. Tao udowodnił, że teza lematu zachodzi także dla funkcji różniczkowalnych z przestrzeni których pochodna należy do G. Tao, A simple alternative to the Barbălat Lemma, IEEE Trans. Automat. Control, 42 (1997), no. 5, 698..
Przypisy
Bibliografia B. Farkas, S.-A. Wegner, Variations on Barbălat’s Lemma, The American Mathematical Monthly 123(8) (2014) 825–830.
Kategoria:Rachunek różniczkowy i całkowy Barbălata B