Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego – twierdzenie analizy zespolonej orzekające, że dla funkcji holomorficznej całka z niej po drodze zamkniętej – tzw. całka okrężna – jest równa zero. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy’ego w 1825 roku. Cauchy wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych.
Mimo dużego znaczenia tej teorii w analizie zespolonej, Cauchy nie widział w niej nic wyjątkowego. Dlatego praca z 1825 roku, nie była przez niego cytowana aż do roku 1851. Cytowanie swoich prac było jego częstym zabiegiem.
Twierdzenie to ma wiele nazw: twierdzenie Cauchy’ego o całce krzywoliniowej bądź twierdzenie całkowe Cauchy’ego, ale również twierdzenie Cauchy’ego-Goursata, czy nawet lemat Goursata (nie mylić z lematem Goursata w teorii grup).
Twierdzenie Niech będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej ograniczonym przedziałami gładką krzywą zamkniętą ponadto oznacza funkcję analityczną na obszarze dla którego Wówczas
Wnioski Jeśli funkcja jest analityczna w obszarze jednospójnym oraz to dla każdych kawałkami gładkich krzywych łączących z mamy
Zatem możemy zdefiniować całkę
(tzn. nie zależy ona od drogi całkowania). Dla jak powyżej określmy funkcję przez
Wówczas funkcja jest analityczna oraz Niech będzie funkcją analityczną w obszarze jednospójnym z wyjątkiem punktów oraz niech będzie kawałkami gładką krzywą Jordana otaczającą wszystkie punkty (tzn. punkty te leżą we wnętrzu obszaru ograniczonego krzywą C). Wybierzmy liczbę dodatnią taką że okręgi o środku w i promieniu (dla ) nie przecinają się i nie przecinają krzywej. Wówczas
(Całki powyżej są po krzywych skierowanych dodatnio).
Zobacz też twierdzenie o residuach wzór całkowy Cauchy’ego
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.
Linki zewnętrzne [dostęp 2026-09-05]. Cauchy integral theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
podstawowe Cauchy’ego