mały|Diagram przykładowej funkcji. Przeciwobrazem elementu jest jedynka przeciwobrazem elementu – zbiór dwuelementowy dwójki i trójki a przeciwobrazy elementów i są puste
Przeciwobraz zbioru – pojęcie matematyczne, konkretniej teorii mnogości, związane z dowolną funkcją lub inną relacją dwuargumentową. Przeciwobrazy definiuje się dla podzbiorów przeciwdziedziny – dla funkcji przeciwobrazy dotyczą dowolnego zbioru . Przeciwobraz zbioru to zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowane na elementy .
Pojęcie przeciwobrazu bywa używane w różnych działach matematyki, nie tylko wyższej; przeciwobrazami można definiować inne pojęcia jak miejsce zerowe Funkcje, Brain Wiki – Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego (FUW), brain.fuw.edu.pl, 22 maja 2015 [dostęp 2024-12-15]. i funkcja ciągła.
Przeciwobraz względem funkcji Definicje i zapis Niech oznacza dowolną funkcję ze zbioru w zbiór . Przeciwobrazem zbioru względem nazywa się podzbiór zbioru określony wzorem
Inne oznaczenia Marek Zaionc, Jakub Kozik i Marcin Kozik, Logika i teoria mnogości, wykład 6: Funkcje (...), Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), wazniak.mimuw.edu.pl, 11 września 2023 [dostęp 2024-12-15].:
Przeciwobraz względem ustalonej funkcji , oznaczany , to funkcja ze zbioru potęgowego zbioru w zbiór potęgowy zbioru , czyli .
Symbol stosuje się do funkcji odwrotnych, które są odrębnym pojęciem. Ono pokrywa się z przeciwobrazem wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.
Przykłady Niech funkcja rzeczywista będzie dana wzorem Przeciwobraz liczby rzeczywistej przy tej funkcji – oznaczany – zależy od jej wartości: dla przeciwobrazami są okręgi o wspólnym środku w początku układu współrzędnych; dla przeciwobrazem jest sam początek układu; dla przeciwobrazem jest zbiór pusty.
Własności Istnieją ogólne związki przeciwobrazu z działaniami na zbiorach takimi jak suma przekrój i różnica Jeśli to:
Istnieją też ogólne związki z pojęciem obrazu zbioru: obraz przeciwobrazu to podzbiór wyjściowego zbioru: Równość zachodzi dla funkcji „na” (suriekcji); przeciwobraz obrazu to nadzbiór wyjściowego zbioru: Równość zachodzi dla funkcji różnowartościowych (iniekcji) [dostęp 2025-11-23]. Injection , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-11-23]..
Włókna Przeciwobraz zbioru jednoelementowego oznacza się lub krócej Nazywa się go włóknem nad , poziomicą lub warstwicą .
Zbiór wszystkich włókien nad elementami tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknień.
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Piotr Stachura, Przeciwobraz zbioru w odwzorowaniu, kanał Khan Academy na YouTube, 10 sierpnia 2016 [dostęp 2024-07-25].