Przestrzeń zerowymiarowa – przestrzeń topologiczna która ma bazę złożoną ze zbiorów otwarto-domkniętych. Warunek ten jest równoważny stwierdzeniu, że przestrzeń ma wymiar ind zero.
Czasami rozważa się przestrzenie wymiaru 0 względem wymiarów lub Wówczas zwykle staramy się podkreślić, że chodzi o inne znaczenie zerowymiarowości niż podane powyżej (mówiąc np. że przestrzeń jest zerowymiarowa w sensie ).
Przykłady Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami zerowymiarowymi: każda przestrzeń dyskretna, przestrzeń liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni prostej rzeczywistej, przestrzeń Cantora (która jest homeomorficzna z trójkowym zbiorem Cantora), przestrzeń Baire’a (jest ona homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych), przestrzeń Stone’a danej algebry Boole’a.
Własności Każda zerowymiarowa przestrzeń T1 jest całkowicie regularna. Jedynymi spójnymi podzbiorami przestrzeni zerowymiarowej są zbiory jednopunktowe i zbiór pusty. Podprzestrzeń przestrzeni zerowymiarowej jest zerowymiarowa. Jeśli są przestrzeniami topologicznymi, jest zerowymiarowa, jest funkcją ciągłą, która jest także odwzorowaniem otwartym i domkniętym, to jest przestrzenią zerowymiarową. Każda zerowymiarowa przestrzeń jest homeomorficzna z podzbiorem kostki Cantora (dla pewnego zbioru indeksów ). Jeśli jest przestrzenią metryczną z bazą przeliczalną, to następujące warunki są równoważne: jest przestrzenią zerowymiarową (w sensie ),
Każda przestrzeń która ma wymiar lub wymiar jest zerowymiarowa (w sensie ).
Zobacz też aksjomaty oddzielania topologia
Linki zewnętrzne Zero-dimensional space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
Kategoria:Własności przestrzeni topologicznych