Zbiory domknięte nieograniczone (club) – rodzina podzbiorów liczby kardynalnej (traktowanej jako liczba porządkowa) zawierająca zbiory w pewnym sensie duże.

Nazwa club jest skrótem angielskiego terminu . Niektórzy autorzy używają też nazwy c.u.b. (taka nazwa używana jest m.in. w monografii KunenaKunen, Kenneth. Set theory. An introduction to independence proofs, „Studies in Logic and the Foundations of Mathematics” 102. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. s. xvi+313, .).

Definicje formalne Niech będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną (którą będziemy traktować jako początkową liczbę porządkową). Powiemy, że zbiór jest domknięty, jeśli jest on domknięty w topologii porządkowej na który to warunek jest równoważny stwierdzeniu, że dla każdej granicznej liczby mamy

Zbiór jest nieograniczony w jeśli Powiemy, że zbiór jest clubem w jeśli jest on zarówno domknięty, jak i nieograniczony. Zbiór jest stacjonarnym podzbiorem jeśli dla każdego domkniętego nieograniczonego (tzn. cluba) zbioru Zbiór jest niestacjonarnym podzbiorem jeśli nie jest stacjonarny, czyli gdy dla pewnego cluba

Własności i przykłady Niech będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną. Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych mniejszych niż jest clubem, podobnie jak i zbiór wszystkich granic liczb granicznych. Zbiór wszystkich granicznych liczb porządkowych o przeliczalnej współkońcowości jest stacjonarnym podzbiorem Dla każdej funkcji zbiór jest clubem w Jeśli jest rodziną clubów na to przekrój też jest clubem. Z powyższej obserwacji wynika, że rodzina dla pewnego cluba jest -zupełnym filtrem podzbiorów Rodzina wszystkich niestacjonarnych podzbiorów tworzy -zupełny ideał podzbiorów Lemat Fodora mówi, że jeśli jest stacjonarnym podzbiorem oraz jest funkcją taką, że to funkcja jest stała na pewnym stacjonarnym podzbiorze zbioru (Odwrotnie, jeśli jest niestacjonarnym podzbiorem to istnieje funkcja taka, że która nie jest stała na żadnym nieograniczonym podzbiorze zbioru ).

Zobacz też diament Jensena miara Dieudonnégo

Przypisy

Kategoria:Liczby kardynalne