mały|Henri Lebesgue

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej (zmajoryzowanej) – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica odpowiednio ograniczonego ciągu funkcji mierzalnych jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henriego Lebesgue’a.

Twierdzenie Założenia: (a) jest przestrzenią mierzalną z miarą . (b) Funkcje , gdzie , tworzą ciąg funkcji mierzalnych. (c) Istnieje funkcja całkowalna , tj. taka że dla prawie wszystkich i dla wszystkich (d) Dla prawie wszystkich istnieje granica (por. zbieżność prawie wszędzie)

(e) Funkcja jest określona tak, że dla prawie wszystkich

Teza: Funkcja jest całkowalna i jej całka względem miary jest równa granicy ciągu całek liczonych z funkcji względem miary tj.

Szkic dowodu Załóżmy, że są spełnione warunki (a)-(d). Najpierw zauważamy, że jest funkcją mierzalną, jako że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna. oraz (dla wszystkich ), a stąd jest całkowalna. Zauważmy, że (dla każdego ), więc możemy zastosować lemat Fatou do funkcji

Ponieważ to otrzymujemy wówczas, że

Stąd już wnioskujemy, że a zatem Ponieważ

to możemy też wywnioskować, że

Przykład: Konieczność założenia (c) Przykład ten pokazuje konieczność założenia istnienia funkcji dominującej w twierdzeniu Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej. Rozważmy odcinek wyposażony w miarę Lebesgue’a Dla liczby naturalnej definiujemy funkcję daną wzorem

Warunki (a), (b) są spełnione. Warunek (d) też jest spełniony, przy czym

dla każdego Natomiast warunek (c) nie jest spełniony, gdyż nie istnieje funkcja całkowalna , taka że dla prawie wszystkich i dla wszystkich spełniony jest warunek

Dla każdego mamy , ale

Zatem

Zobacz też całka Lebesgue’a lemat Fatou twierdzenie Fubiniego twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej twierdzenie Vitalego o zbieżności

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa

Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-16].

Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej Kategoria:Ciągi funkcyjne