thumb|250px|Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni thumb|250px|Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni
Pole wektorowe – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.
Definicja pola wektorowego Niech będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta Dokładniej rodzinę przestrzeni Hilberta . Elementy produktu nazywamy polami wektorowymi.
Rodziną fundamentalną pól -mierzalnych nazywamy rodzinę spełniającą warunki: funkcja jest -mierzalna dla Zob. podprzestrzeń liniowa. dla każdego
Pole wektorowe
nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje są -mierzalne.
Pola -mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu Produkt przestrzeni liniowych jest przestrzenią liniową..
Przykłady pól wektorowych Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są: pole grawitacyjne – pole wektorów natężenia pola grawitacyjnego, pole elektryczne – pole wektorów natężenia pola elektrycznego, pole magnetyczne – pole wektorów indukcji magnetycznej, pole prędkości i potencjał zespolony przepływu – określa prędkość przepływu płynu w każdym punkcie przestrzeni.
Teoretycznym badaniem pól fizycznych zajmuje się dział fizyki zwany teorią pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.
Operacje różniczkowe na polach wektorowych Dywergencja pola Dywergencją pola wektorowego określonego w punktach przestrzeni nazywa się pole skalarne równe sumie odpowiednich pochodnych cząstkowych, obliczonych na składowych wektora
Pole skalarne będące dywergencją pola wektorowego jest różne od zera w punktach, gdzie są źródłami pola wektorowego (np. pole elektrostatyczne ma dywergencję różną od zera w punktach, gdzie znajdują się ładunki elektryczne). Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Dywergencja.
Rotacja pola Rotacją pola wektorowego nazywa się pole wektorowe takie że
Rotacja przypisuje polu wektorowemu inne pole wektorowe. Jeśli rotacja jest różne od zera w punkcie to oznacza że wokół tego punktu pole wektorowe wiruje.
Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Rotacja.
Zobacz też
dywergencja pola gradient pola pole skalarne pole tensorowe rotacja pola teoria pola
Uwagi
Przypisy
Literatura
Kategoria:Fizyka matematyczna Kategoria:Rachunek wektorowy Kategoria:Teoria pola