mały|280px|Wykres funkcji rzeczywistej oraz jej transformaty Fouriera
Analiza harmoniczna, analiza fourierowska – dział analizy matematycznej badający szeregi Fouriera i transformacje Fouriera, powstały w XIX wieku przy badaniu równań różniczkowych cząstkowych. Od tego czasu skorzystał z osiągnięć innych działów matematyki, w tym: (a) analiza rzeczywista wypracowała warunki Dirichleta określające warunki nakładane na funkcje, by można je było analizować za pomocą szeregów i transformat Fouriera (b) analiza funkcjonalna zmieniła perspektywę na szeregi i transformacje Fouriera. W tej perspektywie szereg i transformata Fouriera są rozkładami wektorów w bazie przestrzeni Hilberta za pomocą iloczynu skalarnego.W XX wieku m.in. opracowano algorytm szybkiej transformacji Fouriera, poszerzono zakres i metody badań dzięki teorii dystrybucji oraz znaleziono zastosowania w teorii liczb.
Zastosowania Analiza fourierowska to jeden z fundamentów fizyki matematycznej:
jest narzędziem rozwiązywania równań jest podstawą analizy drgań i fal w mechanice, optyce i ogólnej teorii względności stanowi fundament fizyki kwantowej, zwłaszcza obrazu Schrödingera. Np. Zasada nieoznaczoności Heisenberga wynika z falowej natury ciał oraz twierdzeń analizy harmonicznej.
Modelowanie zjawisk Analiza fourierowska prowadzi do utworzenia modelu stanowiącego sumę składowych harmonicznych (harmonik), tj. funkcji sinusoidalnych i cosinusoidalnych w określonym przedziale czasowym. Model ten przyjmuje na ogół postać:
gdzie: – parametry modelu.
W przypadku, gdy w szeregu czasowym występuje tendencja rozwojowa (trend), model przyjmuje postać
zaś parametry modelu wynoszą:
dla
dla
Należy jednak pamiętać, iż dla ostatniej składowej harmonicznej mamy:
.
Zobacz też składowa harmoniczna współczynnik zawartości harmonicznych
Przypisy
Linki zewnętrzne Maciej Mulak, Widmo możliwości, czyli analiza fourierowska, Politechnika Wrocławska, kanał „Fizyka bez zamulania” na YouTube, 4 września 2024 [dostęp 2024-09-23]. Harmonic analysis , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].