thumb|Torus z pokazanym najprostszym podziałem, pozwalającym obliczyć jego charakterystykę Eulera (tu W= 1, K = 2, S = 1)
Torus – dwuwymiarowa powierzchnia obrotowa zanurzalna w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół prostej leżącej w płaszczyźnie tego okręgu i nieprzecinającej go. Często oznacza się go symbolem lub
Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia bajgla.
Parametryzacje Niech okrąg definiujący torus ma promień oś obrotu pokrywa się z osią układu współrzędnych kartezjańskich a jej odległość od środka okręgu wynosi oraz niech środek okręgu leży w płaszczyźnie
Wówczas równanie torusa przyjmuje postać:
Pole powierzchni torusa jest równe:
z kolei objętość torusa (dokładniej: część przestrzeni ograniczonej torusem) jest równa:
Wyniki te najłatwiej uzyskać korzystając z tzw. parametryzacji sferycznej, czyli przedstawiając torus w układzie współrzędnych sferycznych.
Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie o środku w punkcie i promieniu gdzie Parametryzacja tego okręgu przedstawia się następująco:
Obróćmy ten okrąg o kąt wokół osi W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:
Zatem:
Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:
Krzywizna Gaussa Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym w punkcie można wyznaczyć ze wzoru:
Dla torusa o podanej wcześniej parametryzacji mamy:
Stąd:
Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej jest:
Zauważmy, że: dla mamy czyli na zewnętrznej stronie torusa; dla mamy czyli na górze i dole torusa; dla mamy czyli po wewnętrznej stronie torusa; gdy wówczas przyjmuje maksimum, tj. na największym okręgu (równoleżniku); gdy wówczas przyjmuje minimum, tj. na najmniejszym okręgu (równoleżniku).
Uogólnienie Torus jest homeomorficzny z przestrzenią ilorazową gdzie jest relacją równoważności określoną następująco:
Wynika stąd istnienie odwzorowania które przyporządkowuje każdemu punktowi płaszczyzny jego klasę abstrakcji w relacji i przeprowadza płaszczyznę w torus. Przekształcenie to łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary.
Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.
Zobacz też
toroid genus
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Torus , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
Kategoria:Powierzchnie obrotowe