Wypukłość i wklęsłość funkcji – własność wykresu funkcji jednej zmiennej, dwóch zmiennych, ogólnie: dowolnej liczby zmiennych.
1. W przypadku funkcji jednej zmiennej , jeżeli wykres funkcji znajduje się nad prostą styczną – mówimy, że funkcja jest wypukła, pod prostą styczną – mówimy, że funkcja jest wklęsła. 2. W przypadku funkcji dwóch zmiennych , jeśli wykres znajduje się nad płaszczyzna styczną – mówimy, że funkcja jest wypukła, pod płaszczyzna styczną – mówimy, że funkcja jest wklęsła. 3. W przypadku funkcji wielu zmiennych , jeśli wykres znajduje się nad hiperpłaszczyzną styczną – mówimy, że funkcja jest wypukła, pod płaszczyzna styczną – mówimy, że funkcja jest wklęsła. Przy tym wyróżnia się wypukłość (wklęsłość) ścisłą, co gwarantuje, iż funkcja ma ekstremum w jednym punkcie.
W przypadku funkcji jednej zmiennej, gdy funkcja w jakimś punkcie przechodzi z wypukłej wklęsłą / lub odwrotnie - z wklęsłej w wypukła, to w punkcie tym istnieje punkt przegięcia.
W przypadku funkcji dwóch zmiennych (większej liczby zmiennych) można mówić o liniach przegięcia (hiperpowierzchniach przegięcia).
Funkcja jednej zmiennej - definicje za pomocą stycznych thumb|Funkcja ściśle wypukła: jej wykres leży nad stycznymi do wszystkich punktów dziedziny funkcji
Wypukłość. Ścisła wypukłość (1) Def. Funkcja jest wypukła w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykres leży ponad wykresami stycznych, wystawionych w każdym punkcie przedziału
(2) Def. Funkcja jest ściśle wypukła w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykres leży ponad wykresami stycznych, wystawionych w każdym punkcie przedziału oraz styczne nie mają innych punktów wspólnych z wykresem funkcji.
(3) Jeśli funkcja jest różniczkowalna na przedziale otwartym, to można podać definicje wypukłości opierającą się na pojęciu pochodnej.
Tw. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna, to równanie stycznej do krzywej w punkcie ma postać:
Warunek na wypukłość funkcji określa wtedy nierówność
(4) Tw. Jeśli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na to aby była ona wypukła w przedziale wystarczy żeby jej druga pochodna w tym przedziale była nieujemna:
thumb| Funkcja ściśle wklęsła: jej wykres leży pod stycznymi do wszystkich punktów dziedziny funkcji
Wklęsłość. Ścisła wklęsłość (1) Def. Funkcja jest wklęsła w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży pod wykresami stycznych, wystawionych w każdym punkcie przedziału
(2) Def. Funkcja jest ściśle wklęsła w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży pod wykresami stycznych, wystawionych w każdym punkcie przedziału oraz styczne nie mają innych punktów wspólnych z wykresem funkcji.
(3) Jeśli funkcja jest różniczkowalna na przedziale otwartym, to można podać definicję wklęsłości opierające się na pojęciu pochodnej.
Tw. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna, to równanie stycznej do krzywej w punkcie ma postać:
Warunek na wklęsłość funkcji określa wtedy nierówność
(4) Tw. Jeśli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na to aby była ona wklęsła, wystarczy żeby druga pochodna w tym przedziale była niedodatnia:
thumb|Funkcja z punktem przegięcia - styczna w tym punkcie w części leży pod wykresem, a w części nad nim
Punkt przegięcia
(1) Def. Jeżeli z jednej strony punktu funkcja jest wypukła zaś z drugiej wklęsła, to nazywamy punktem przegięcia krzywej.
(2) Tw. (warunek konieczny) Jeżeli druga pochodna w punkcie istnieje, warunkiem koniecznym na to aby punkt był punktem przegięcia funkcji jest:
Nie jest to jednak warunek wystarczający (por. przykład 2)
(3) Tw. (warunek wystarczający). Jeżeli druga pochodna w punkcie istnieje i zeruje się, , oraz następuje zmiana zmiana znaku drugiej pochodnej w punkcie , to funkcja ma punkt przegięcia w punkcie .
Przykłady 1. Funkcja rzeczywista ma drugą pochodną , która zeruje się w punkcie W tym punkcie następuje zmiana znaku drugiej pochodnej, co oznacza, że funkcja ma tam punktów przegięcia.
2. Funkcja rzeczywista ma drugą pochodną , która zeruje się w punkcie W tym punkcie nie następuje jednak zmiana znaku drugiej pochodnej - druga pochodna jest nieujemna w całej dziedzinie; oznacza to, że funkcja jest wypukła w całej dziedzinie.
Funkcja jednej zmiennej - definicje za pomocą siecznych
Wypukłość Funkcję rzeczywistą określoną na zbiorze wypukłym nazywamy wypukłą, jeżeli
Jeśli jest przedziałem, to geometryczny sens powyższej nierówności jest następujący: łuk wykresu funkcji łączący dowolne dwa punkty tego wykresu leży poniżej lub na cięciwie . mały|Funkcja ściśle wypukła
Ścisła wypukłość Zastępując nierówności w definicji wypukłości przez nierówność ostrą definiujemy funkcje ściśle wypukłe.
Wklęsłość Funkcję nazywamy wklęsłą w tym przedziale, jeżeli w powyższej definicji słowo poniżej zastąpimy przez powyżej, czyli innymi słowy zmienimy zwrot nierówności. Jeszcze inaczej: funkcja jest wklęsła, jeśli funkcja jest wypukła. mały|Funkcja ściśle wklęsła
Ścisła wklęsłość Zastępując nierówności w definicji wklęsłości przez nierówność ostrą definiujemy funkcje ściśle wklęsłe.
Własności i warunki równoważne wypukłości Załóżmy, że jest funkcją jednej zmiennej, a jest niepustym przedziałem.
(1) Funkcja jest wypukła, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnie ustalonych takich, że zachodzi
.
Taka charakteryzacja funkcji wypukłej przydatna jest do udowodnienia poniższej własności.
Dalej, zakładamy, że jest niepustym przedziałem otwartym.
(2) Jeśli jest wypukła w , to jest ciągła w tym przedziale.
(3) Funkcja wypukła jest kresem górnym rodziny funkcji liniowych mniejszych bądź równych od niej (punktowo).
(4) W szczególnym przypadku, gdy dla funkcji wypukłej użyjemy w definicji , to dla dowolnych otrzymujemy nierówność
,
która jest warunkiem słabszym od wypukłości. Tj. istnieją funkcje spełniające powyższy warunek, ale niewypukłe, np. funkcje rzeczywiste -liniowe, ale nie -liniowe.
(5) Natomiast, jeśli funkcja jest dodatkowo ciągła i dla wszystkich spełnia warunek
to jest ona wypukła.
Odwrotna terminologia Niewielka liczba autorów nazywa funkcje wypukłe w sensie powyższej definicji wklęsłymi i na odwrót; spotyka się też określenia wypukła w dół i wypukła w górę na funkcje wypukłą i wklęsłą odpowiednio.
Liczba ekstremów Tw. 1 (o liczbie minimów funkcji wypukłych)
Funkcja wypukła, ale nie ściśle wypukła, ma więcej niż jedno minimum na zbiorze . Funkcja ściśle wypukła ma tylko jeden punkt minimum na zbiorze .
Tw. 2 (o liczbie maksimów funkcji wklęsłych)
Funkcja wklęsła, ale nie ściśle wklęsła, ma więcej niż jedno maksimum na zbiorze . Funkcja ściśle wklęsła ma tylko jeden punkt maksimum na zbiorze .
Zobacz też macierz Hessego nierówność Jensena
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-04-18]. Convex function (of a real variable) , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-8].
W