Wielomiany Zernikego są zbiorem wielomianów ortogonalnych wewnątrz koła jednostkowego wprowadzonych przez Fritsa Zernike.

Definicja Wielomiany Zernikego zdefiniowane są w postaci zespolonej:

gdzie: są liczbami naturalnymi takimi, że oraz jest parzyste, są współrzędnymi biegunowymi punktu (odpowiednio długością promienia wodzącego i wartością kąta skierowanego). jest wielomianem radialnym postaci:

Czasami spotyka się również definicję wielomianów Zernikego w postaci rzeczywistej. Wyróżnia się parzyste i nieparzyste wielomiany Zernikego – wielomian parzysty, – wielomian nieparzysty.

Przykłady Kolejne wielomiany Zernike mają rozwinięcie

Mapy jasności niektórych wielomianów Zernikego: Część rzeczywista Plik:Zer20re.png Plik:Zer22re.png Plik:Zer31re.png Plik:Zer33re.png Plik:Zer40re.png Część urojona Plik:Zer22im.png Plik:Zer31im.png Plik:Zer33im.png 200px

Własności Wielomiany radialne są ortogonalne:

gdzie oznacza deltę Kroneckera. Podobnie, ortogonalność zachodzi dla wielomianów Zernikego:

Wielomiany te posiadają również własność rotacyjną

co oznacza, że ich moduł jest niezależny od obrotu:

Sprzężenie wielomianu Zernikego ma wartość:

Zastosowanie W optyce, wielomiany Zernikego stosuje się do opisu aberracji soczewek.

Wielomiany Zernikego znalazły też zastosowanie w cyfrowym przetwarzaniu obrazów, do dekompozycji obrazów na tzw. momenty Zernikego.

Zobacz też wielomiany Legendre’a

Linki zewnętrzne

(en.)

Kategoria:Optyka geometryczna Kategoria:Wielomiany ortogonalne