Funkcja multiplikatywna – w teorii liczb funkcję arytmetyczną określoną na zbiorze liczb naturalnych nazywamy multiplikatywną, jeżeli dla wszystkich względnie pierwszych liczb spełniony jest warunek
Jeżeli warunek ten spełniony jest dla wszystkich liczb naturalnych i to funkcję nazywamy całkowicie multiplikatywną.
Przykłady Niektóre spośród najważniejszych funkcji multiplikatywnych w teorii liczb to: funkcja φ Eulera, liczba mniejszych liczb naturalnych od które są względnie pierwsze z – innymi słowy, rząd grupy funkcja τ, liczba dodatnich dzielników liczby funkcja σ, suma dodatnich dzielników liczby funkcja Möbiusa, funkcja tożsamościowa, funkcja stale równa 1, element neutralny splotu Dirichleta, dla
Zależność algebraiczna Można udowodnić, że dla dowolnej funkcji multiplikatywnej jej wartości są zależne od wartości dla potęg liczb pierwszych:
Jeżeli jest rozkładem na liczby pierwsze liczby to a
Dowód Pierwszą równość otrzymujemy z definicji oraz z faktu, że wszystkie liczby postaci są względnie pierwsze. Ponadto ponieważ z czego wynika druga równość.
Struktura algebraiczna Zbiór funkcji multiplikatywnych tworzy grupę przemienną z operacją splotu Dirichleta. Oznacza to między innymi, że splot Dirichleta funkcji multiplikatywnych jest funkcją multiplikatywną. Oto niektóre spośród tożsamości wiążących wymienione wyżej funkcje multiplikatywne poprzez operację splotu:
Zobacz też równanie funkcyjne
Linki zewnętrzne [dostęp 2023-08-30]. [dostęp 2023-08-30]. Multiplicative arithmetic function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].
Kategoria:Funkcje arytmetyczne