mały|Stylizowany perspektywą zbieżną zapis liczby 0,(9) (lub 0,999…) – alternatywny zapis liczby 1 w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego. Równość można udowodnić na kilka sposobów.
Dowody Dowód 1. Dowód opiera się na algorytmie wyznaczania rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej. Wykorzystuje przedstawienie ułamka w postaci liczby dziesiętnej Z równości natychmiast wynika
Dla ułamków postaci zachodzi równość
z której wynika, że kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego powstające w trakcie stosowania algorytmu powtarzają się cyklicznie tzn.
Ten algorytm zawodzi jednak dla ułamka stąd nieoczywista równość ,
którą należy wykazać.
Podobnie ułamek można przedstawić w postaci liczby dziesiętnej Stąd
W dowodzie można także wykorzystać dowolny rozkład liczby 0,(9) na sumę co najmniej dwóch ułamków dziesiętnych nieskończonych, o których wiadomo, jakich ułamków zwykłych są rozwinięciem. Przykładowo:
Podobnie dla poniższych rozkładów itd.
Dowód 2. Dowód jest zastosowaniem ogólnej metody zamiany na ułamek zwykły każdej liczby dziesiętnej okresowej z dowolnie długim okresem:
, q.e.d.
Dowód 3. Skorzystajmy z własności szeregów zbieżnych: jeśli jest zbieżny, to też jest zbieżny oraz jeśli są zbieżne, to też jest zbieżny oraz Liczbę 0,(9) można przedstawić jako sumę nieskończonego szeregu geometrycznego:
i korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, w którym dostaniemy: , q.e.d. Dowód 4. Dowód polega na założeniu, że istnieje liczba , która leży między a , tj. .
Załóżmy, że . Wtedy możemy zapisać:
gdzie jest bardzo małą liczbą dodatnią (taką, że ).
Zauważmy teraz, że dla każdej liczby dziesiętnej w postaci , jeśli jest dowolnie małe, to ta liczba jest niemal równa , ale nie może być różna od . Oznacza to, że nie ma żadnej liczby , która mogłaby leżeć między a , ponieważ liczba jest już maksymalnie bliska .
Podobnie, rozważając rozwinięcie dziesiętne liczby , które miałoby znajdować się pomiędzy a , zauważamy, że każda próba umieszczenia takiej liczby w tej przestrzeni prowadzi do sytuacji, w której zbliża się do w sposób nieskończony, a więc nie istnieje przestrzeń między a .
Wobec tego, żadne nie istnieje między a , co dowodzi, że: , q.e.d.
Zobacz też
paradoksy Zenona z Elei
Przypisy
Kategoria:Ułamki dziesiętne Kategoria:Matematyczne paradoksy nieskończoności Kategoria:Szeregi geometryczne liczb rzeczywistych