Funkcja Wignera – w mechanice kwantowej funkcja skonstruowana z funkcji falowej dająca informacje na temat rozkładu pędu i położenia stanu kwantowego w przestrzeni fazowej i umożliwiająca bezpośrednie porównanie rozwiązań równania Schrödingera w reprezentacji położeniowej z rozwiązaniami równań Hamiltona w sensie rozkładu statystycznego gęstości prawdopodobieństwa warunków początkowych. W tym sensie wyraża ona ewolucję czasową zbioru trajektorii klasycznych, odpowiadających stanowi kwantowemu i zaburzonych przez mechanikę kwantową, jeśli tylko jest wszędzie dodatnia. Jednak w odróżnieniu od klasycznego rozkładu prawdopodobieństwa warunków początkowych w przestrzeni fazowej istnieją stany, dla których przyjmuje ona ujemne wartości, tzn. nie mają one jasnego odpowiednika w klasycznym rozkładzie warunków początkowych (pojawia się ujemne prawdopodobieństwo).
Konstrukcja funkcji Wignera polega na znalezieniu takiej funkcji dla której:
Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie równa jest całce z funkcji po zmiennej pędowej, zaś gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie równa jest całce z funkcji po zmiennej położeniowej.
Wigner zauważył, że związki te spełnia następująca biliniowa forma (definicja funkcji Wignera):
Funkcja Wignera zdefiniowana poprzez funkcje falowe jest użyteczna wyłącznie dla stanów czystych. Aby pozbyć się tego ograniczenia, można zdefiniować funkcję Wignera w sposób ogólniejszy:
gdzie jest macierzą gęstości.
Działanie funkcji Wignera widać najlepiej dla dobrze zlokalizowanych paczek falowych, mających skończony pęd, np. dla cząstki swobodnej w jednym wymiarze przestrzennym ze współrzędną , opisanej funkcją falową
Czynnik mnożący pojawiający się w symetrycznym wyrażeniu podobnym do splotu funkcji ma podwójne działanie. Wykrywa duże czynniki fazowe pędu w funkcji falowej oraz skaluje gęstość przestrzenną do jej transformaty Fouriera, tak aby wyprodukować prawidłową nieoznaczoność pędu.
Jeśli gaussowska paczka falowa z fazą zespoloną , reprezentującą pęd, zlokalizowana jest np. wokoło punktu , wtedy jest parzysta w sensie modułu w tzn. , a znak minus z w argumencie funkcji falowej znosi się ze sprzężeniem zespolonym , produkując całkowity czynnik fazowy pędu w Dla funkcja Wignera jest więc transformatą Fouriera czynnika fazowego pędu pomnożonego przez przeskalowaną (poszerzoną) gaussowską gęstość przestrzenną w więc jest też funkcją Gaussa z maksimum w okolicy wartości tego pędu. Natomiast dla skończonego cała funkcja pomnożona jest przez gaussowską gęstość przestrzenną w niezależną od co znaczy, że funkcja Wignera w przestrzeni fazowej zlokalizowana jest zarówno wokoło lokalizacji przestrzennej cząstki jak i lokalizacji w przestrzeni pędu, tzn. wokoło wartości pędu z czynnika fazowego. Natomiast transformata Fouriera gęstości przestrzennej nie jest kwadratem transformaty Fouriera modułu gaussowskiej funkcji falowej, dającej rozkład pędu, i przed transformatą potrzebne jest jej przeskalowanie.
Dla gaussowskiej funkcji falowej cząstki swobodnej o pędzie :
Funkcja Wignera dana jest po prostu przez:
czyli jest iloczynem funkcji Gaussa pędu i funkcji Gaussa położenia o rozmyciach odpowiednio i – jednym będącym odwrotnością drugiego (zasada nieoznaczoności Heisenberga).
Bibliografia
Kategoria:Mechanika kwantowa