Element odwrotny jest uogólnieniem pojęcia odwrotności liczby.
Niech oznacza działanie dwuargumentowe w zbiorze Element nazywa się elementem odwrotnym do jeżeli spełnione są dwa warunki Barbara Opozda, Małgorzata Downarowicz i Dominik Kwietniak, Algebra liniowa z geometrią analityczną, wykład 1: Grupy i ciała, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), wazniak.mimuw.edu.pl, 24 lip 2024 [dostęp 2024-09-23]. Paweł Lubowiecki, cz. I Działanie wewnętrzne i zewnętrzne oraz grupa, Wojskowa Akademia Techniczna, kanał „UczelniaWAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-23].:
gdzie oznacza element neutralny działania
Jeżeli działanie zapisywane jest za pomocą symboli itp. w celu zaznaczenia jego addytywności, to element odwrotny nazywamy przeciwnym i używamy oznaczenia Nazwa odwrotny używana jest w przypadku notacji multiplikatywnej, tj. gdy działanie oznaczamy symbolem zarezerwowanym dla mnożenia: itp. i oznaczamy
Odwrotności jednostronne Często rozważa się element odwrotny lewostronny do danego, gdy spełniony jest jedynie pierwszy warunek i element odwrotny prawostronny, jeżeli spełniony jest wyłącznie drugi warunek. „Zwykły” element odwrotny nazywa się wtedy elementem odwrotnym obustronnym.
Dany element może mieć wiele elementów odwrotnych prawostronnych i lewostronnych jednocześnie, i nie muszą one być sobie równe! Jeśli jednak działanie jest łączne i dany element ma element odwrotny lewostronny i element odwrotny prawostronny to, są one sobie równe i element ten jest elementem odwrotnym obustronnym. A więc jeśli istnieje, element odwrotny jest tylko jeden.
W większości ważnych praktycznie struktur algebraicznych jak grupy i ciała zwykle postuluje się, aby za pewnymi wyjątkami każdy element był odwracalny.
Przykłady Niech będzie dodawaniem liczb rzeczywistych. Elementem odwrotnym do liczby jest liczba Mamy bowiem: oraz (zero jest elementem neutralnym dodawania). Jeżeli jest mnożeniem liczb rzeczywistych, to elementem odwrotnym do liczby jest liczba bo (jedynka jest elementem neutralnym mnożenia). Ostatni przykład pokazuje, że nie każdy element musi mieć element odwrotny – liczba zero nie ma elementu odwrotnego względem mnożenia.
Przypisy
Kategoria:Algebra abstrakcyjna