Forma dwuliniowa albo funkcjonał dwuliniowy – przekształcenie dwuliniowe danej przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów, czyli dwuargumentowy funkcjonał, który jest liniowy ze względu na oba parametry. Studiowanie form dwuliniowych sprowadza się do badania wyniku utożsamienia danej przestrzeni liniowej z przestrzenią dualną do niej; różne utożsamienia wprowadzają różne geometrie na rozpatrywanej przestrzeni liniowej: w szczególności przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym). Uogólnieniem form dwuliniowych są formy wieloliniowe.
Artykuł traktuje o formach, której argumenty należą do jednej przestrzeni; formy określone na dowolnej ich parze opisano w artykule o parze dualnej.
Definicja formy dwuliniowej Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem
Przekształcenie nazywa się formą dwuliniową (funkcjonałem dwuliniowym) na jeżeli jest: liniowe ze względu na pierwszą zmienną, tzn. addytywne i jednorodne względem pierwszego argumentu
oraz
liniowe ze względu na drugą ze zmiennych, tzn. addytywne i jednorodne względem drugiej współrzędnej
oraz
Rodzaje form dwuliniowych Na formy dwuliniowe nakłada się dodatkowe warunki.
Forma refleksyjna
Forma alternacyjna
Forma symetryczna
Forma antysymetryczna Forma zwana też formą symplektyczną
Uwagi (1) Dwuliniowa forma antysymetryczna – to inna nazwa dwuliniowej formy symetrycznej lub alternującej: alternacyjność pociąga antysymetryczność w ciele dowolnej charakterystykiWynika to z równości skąd .
(2) W przypadku ciała liczb rzeczywistych pojęcia alternacyjności i antysymetryczności pokrywają się, jednak i w tym kontekście nazwa „antysymetryczna” jest nadal używana.
(3) Pojęcia te rozważa się także w modułach nad pierścieniami, gdzie żadne z nich nie musi pociągać pozostałychJeżeli będzie liczbą parzystą, a jest macierzą formy dwuliniowej która jest antysymetryczna, lecz nie jest ani symetryczna, ani alternująca dla z pierścienia rozpatrywanego jako -moduł..
Twierdzenia Tw. 1: Forma dwuliniowa jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetryczna albo alternującaDostateczność: refleksywność wynika wprost z równości Konieczność: niech warunek daje skąd np. oraz z refleksywności warunek daje wtedy Z podstawienia otrzymuje się co oznacza, że pociąga (podobnie ). Wystarczy teraz pokazać, że niesymetryczna forma refleksywna jest alternująca; z założenia istnieją więc spełniające dla których jeśli lub to daje w przeciwnym przypadku czyli zatem analogicznie Stąd zaś dlatego ze względu na a więc .
Tw. 2: W ciele charakterystyki różnej od 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest alternująca, a w ciele charakterystyki 2 forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest symetrycznaPonieważ to a więc w ciele charakterystyki różnej od 2 jest w ciele charakterystyki 2 zachodzi z kolei .
Własności W ciele charakterystyki różnej od 2 każdą formę dwuliniową można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy formy symetrycznej i formy alternującej (antysymetrycznej) Dodając i odejmując stronami równości oraz otrzymuje się przedstawienia oraz Jednoznaczność otrzymuje się z odwrócenia rozumowania.; w przypadku ciała charakterystyki 2 alternujące formy dwuliniowe są podzbiorem symetrycznych form dwuliniowychWynika to wprost z powyższej uwagi dotyczącej ciał charakterystyki 2. W ciele charakterystyki różnej od 2 symetryczna forma dwuliniowa wyznaczona jest całkowicie przez wartości „na przekątnej”Zachodzi – własność tę nazywa się polaryzacją (w szczególności ). Oznacza to, że badanie tego rodzaju form dwuliniowych sprowadza się do badania form kwadratowych.
Z formą dwuliniową można związać dwa przekształcenia liniowe z przestrzeni w przestrzeń dualną dane wzorami
oznaczane często odpowiednio oraz gdzie kropka oznacza miejsce przyłożenia argumentu dla powstałej formy liniowej (por. currying w rachunku lambda).
Przekształcenie jest transpozycją (sprzężeniem) na obrazie w drugiej przestrzeni dualnej (i na odwrót). Jeżeli jest skończeniewymiarowa, to istnieje naturalny izomorfizm między a jej drugą dualną dzięki czemu można uważać za transpozycję na W ten sposób dla danej formy dwuliniowej można zdefiniować jej transpozycję (sprzężenie) wzorem
Rząd jest równy rzędowi nazywa się go rzędem formy dwuliniowej Jeśli rząd tych przekształceń jest pełny (tzn. równy wymiarowi przestrzeni), to i są izomorfizmami liniowymi Wówczas formę dwuliniową nazywa się niezdegenerowaną lub nieosobliwą (w przeciwnym przypadku nazywa się ją zdegenerowaną lub osobliwą); podobnie nazywa się wtedy samą przestrzeń dwuliniową Gdy jest skończeniewymiarowa, na mocy twierdzenia o rzędzie jest to równoważne trywialności jądra Wówczas jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich zachodzi
bądź (na mocy kontrapozycji) gdy dla każdego niezerowego wektora istnieje taki wektor dla którego Własność tę przyjmuje się często jako definicję niezdegenerowania w przypadku przestrzeni skończonego wymiaruCzasem nietrywialność jądra nazywana bywa „niezdegenerowaniem”, a pełność rzędu – „nieosobliwością”; w ten sposób niezdegenerowanie nie musi pociągać nieosobliwości..
Dla dowolnego przekształcenia wzór
definiuje formę dwuliniową na przestrzeni Jest ona niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorfizmem.
Formy dwuliniowe oraz określone odpowiednio na i nazywa się równoważnymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm który spełniałby
Zapisanie obu form dwuliniowych we współrzędnych oznacza przejście do przestrzeni współrzędnych; powyższa definicja mówi wtedy, że za równoważne uważa się te formy dwuliniowe, dla których istnieje liniowa zamiana zmiennych między ich przedstawieniami (w przypadku form symetrycznych wystarczy zadbać o przejście wartości „na przekątnych”; zob. kolejną sekcję).
Przestrzeń liniową z formą dwuliniową tworzy przestrzeń dwuliniową przestrzeń liniowa z symetryczną formą dwuliniową (tzw. „uogólnionym iloczynem skalarnym”) nazywa się przestrzenią ortogonalną, jeśli jest ona dodatkowo niezdegenerowana, to nazywa się ją przestrzenią unitarną; zaś przestrzeń z niezdegenerowaną formą dwuliniową alternującą to przestrzeń symplektyczna. Z kolei dwie przestrzenie liniowe związane (zwykle niezdegenerowaną) formą dwuliniową tworzą parę dwoistą.
Macierz formy W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru powyższe własności można przetłumaczyć na język macierzy. Ustalenie bazy w oznacza wybranie izomorfizmu odwzorowującego wektor w wektor współrzędnych którego współrzędne można zapisać w macierzy jednokolumnowej (tzw. wektorze kolumnowym) Dzięki temu w zupełnie analogiczny sposób jak ma to miejsce dla przekształceń liniowych i ich macierzy działanie formy dwuliniowej można zapisać w standardowej notacji macierzowej jako gdzie kropka oznacza standardowy iloczyn skalarny przestrzeni współrzędnych Macierz kwadratową
stopnia nazywa się wtedy macierzą formy dwuliniowej (macierzą funkcjonału dwuliniowego) w bazie (w przypadku przestrzeni unitarnej jest to odpowiednik macierzy Grama iloczynu skalarnego wyrażonego w tej bazie)Jeśli i to gdzie . Jest ona macierzą przekształcenia przy czym wybór ten jest arbitralny: macierz jest macierzą przy wyborze działania Przekształceń w przeciwieństwie do ich macierzy, nie można składać – podejście tłumaczące wynik złożenia macierzy na przekształcenia, a przy tym niewyróżniające żadnego z nich opisano dalej.
W przestrzeni z ustaloną bazą równoważność przedstawień (macierzy) form dwuliniowych wyraża się następująco: jeśli są dwiema bazami to macierze i przekształcenia dwuliniowego są przystające, tzn.
gdzie oznacza macierz zamiany współrzędnych od do Ogólniej: macierze i są przystające, tzn.
dla pewnej macierzy odwracalnej gdy są macierzami tej samej formy dwuliniowej.
Wprost z definicji wynika, że forma dwuliniowa jest symetryczna bądź antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest macierz symetryczna bądź antysymetryczna. Forma dwuliniowa jest alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy jej macierz jest antysymetryczna i wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe zeru (co wynika z antysymetryczności dla ciał o charakterystyce różnej od 2).
Jeśli macierz formy dwuliniowej jest nieosobliwa (odwracalna), to samą formę nazywa się niezdegenerowaną lub także nieosobliwą (podobnie mówi się wtedy o samej przestrzeni ); w przeciwnym przypadku formę (lub przestrzeń dwuliniową) nazywa się zdegenerowaną lub osobliwą. Rzędem formy dwuliniowej bądź przestrzeni nazywa się rząd macierzy tej formy (jest on dobrze określony, gdyż nie zależy od wyboru bazy ze względu na fakt, iż macierze przystające mają równe rzędy).
Przykłady Przestrzeń trywialna (zerowymiarowa) ma jedną formę dwuliniową, która nie ma macierzy (ma macierz pustą, tzn. typu ). Jeśli jest przestrzenią współrzędnych z bazą standardową to każda forma dwuliniowa na tej przestrzeni liniowej jest postaci
gdzie Jeśli jest ustalonym punktem przestrzeni liniowej form (funkcjonałów) na to wzór
zadaje formę dwuliniową na tej przestrzeni. Jeśli jest przestrzenią dwuliniową, zaś jest podprzestrzenią to zawężenie do daje podprzestrzeń dwuliniową oznaczaną też po prostu (konstrukcję tę można również przeprowadzić za pomocą przestrzeni ilorazowej); podprzestrzeń dziedziczy własności refleksywności, alternacyjności, symetryczności i antysymetryczności z przestrzeni wyjściowej, lecz niekoniecznie jej niezdegenerowaniaKontrprzykład (zob. ostatni przykład): choć przestrzeń jest niezdegenerowana, to płaszczyzna rozpinana przez wektory oraz w jest zdegenerowana (czyli zdegenerowane jest zawężenie do tej płaszczyzny), gdyż oraz Istnieją w wektory, które nie są prostopadłe do np. ale nie leżą one we wspomnianej płaszczyźnie.; jeśli zaś jest dodatnio określona (tzn. dla dowolnego ), to własność ta zachodzi dla dowolnej niezerowej podprzestrzeni skąd jest również dodatnio określona, a zatem niezdegenerowana. Jeżeli i są przestrzeniami dwuliniowymi na tym samym ciałem, to suma prosta wraz z formą dwuliniową staje się podprzestrzenią dwuliniową; jeśli obie formy oraz są jednocześnie symetryczne, alternujące, antysymetryczne bądź refleksywne, to również ma tę samą własność. Konstrukcję tę nazywa się ortogonalną sumą prostą przestrzeni oraz Czasami oznacza się ją symbolem – odpowiada ona wtedy tzw. zewnętrznej ortogonalnej sumie prostej; symbol ten stosuje się również do oznaczania ortogonalności podprzestrzeni danej przestrzeni (z formami dwuliniowymi z niej indukowanymi) – ogólnie mówi się wówczas o wewnętrznej ortogonalnej sumie prostej; w ogólności symbol można stosować względem dowolnych podzbiorów danej przestrzeni, zob. ortogonalność. Jeśli oznacza przestrzeń liniową funkcji ciągłych to funkcja dana wzorem
definiuje zdegenerowaną formę dwuliniową na tej przestrzeni: nie jest ona surjektywna, gdyż np. forma delta Diraca należy do jej przestrzeni sprzężonej (topologicznie), ale nie ma wymaganej postaci; z drugiej strony forma spełnia skończeniewymiarową definicję niezdegenerowania. Każdy iloczyn skalarny na przestrzeni unitarnej jest niezdegenerowaną formą dwuliniową, gdyż jego macierz w dowolnej bazie (macierz Grama) jest odwracalna: wyznacznik układu liniowo niezależnego jest różny od zera bądź wynika to wprost z dodatniej określoności iloczynu skalarnego. Z definicji jest on także symetryczny. Niech dla przestrzeni dobrane będą nieujemne liczby całkowite spełniające Wzór
gdzie oraz dany jest w notacji macierzowej jako