Równania telegrafistów (równania linii długiej) – pary liniowych równań różniczkowych, które opisują zmiany zespolonej amplitudy napięcia i prądu wzdłuż linii długiej z uwzględnieniem odległości oraz czasu. Równania zostały skonstruowane przez Oliviera Heaviside’a. Teoria dotyczy wysokoczęstotliwościowych linii długich (takich jak linie telegraficzne), ale jest również ważna dla projektowania linii przesyłowych o wysokim napięciu elektrycznym. Model najłatwiej przedstawić na elementarnym odcinku dwuprzewodowej linii długiej, w którym ważną rolę gra dobrze przewodzący metal wykorzystany w kablach oraz izolujący materiał dielektryczny zastosowany do oddzielenia przewodników. Proces zmian napięcia oraz prądu w takim modelu zakłada, że wywołanie przyrostu napięcia na jednym końcu linii nie daje natychmiastowego pojawienia się takiego samego przyrostu na drugim końcu linii. Przyjmuje się zatem, że propagacja zachodzi tylko w jednym wymiarze wzdłuż linii długiej.
Równania Równania telegrafistów mogą być rozumiane jako uproszczony przypadek równań Maxwella. W praktyczniejszym podejściu przyjmuje się, że przewodniki składają się z nieskończonego szeregu składników elementarnych, z których każdy reprezentuje nieskończenie krótki odcinek linii przesyłowej: rozprowadzony opór przewodnika jest reprezentowany przez opornik szeregowy (wyrażony w omach na jednostkę długości) rozprowadzona indukcyjność jest przedstawiona przez cewkę indukcyjną (henr na jednostkę długości) pojemność elektryczna między dwoma przewodnikami jest reprezentowana przez kondensator bocznika (farad na jednostkę długości) przewodność czynna dielektrycznego materiału rozdzielającego dwa przewodniki jest reprezentowana przez upływność czynną (siemens na jednostkę długości)
Napięcie oraz prąd opisane są równaniami różniczkowymi, tylko i wyłącznie przy spełnieniu następujących dwóch założeń: oraz są harmonicznymi funkcjami czasu o przebiegu sinusoidalnymi i pulsacji (gdzie – zespolona amplituda napięcia; – zespolona amplituda prądu)
Linia nie zmienia swoich wymiarów, średnicy przewodów, ich odległości oraz przenikalności izolatora otaczającego przewody.
Zespolone amplitudy prądu i jednorodnej linii długiej związane są prostymi równaniami różniczkowymi ze stałą zwaną stałą propagacji
Identyczne równania uzyskuje się z równań Maxwella dla pól i Równania te zwane są równaniami falowymi.
Równania telegrafistów wyraża się za pomocą i by podkreślić, że wartości są pochodnymi w związku do długości.
Linia bezstratna Kiedy elementy i są bardzo małe, to ich wpływ może być pominięty, a linia przesyłowa może być traktowana jak idealna struktura bezstratna. W tym przypadku model zależy tylko od elementów i i uzyskuje się parę równań różniczkowych pierwszego rzędu, w których jedna funkcja opisuje napięcie elektryczne wzdłuż kabla, zaś druga natężenie prądu, obie jako funkcje położenia i czasu
Ich kombinacja liniowa daje dwa równania funkcji falowych:
W stanie stacjonarnym (zakładając falę sinusoidalną ), równania te redukują się do:
gdzie – częstość fali w stanie stacjonarnym
Jeśli linia ma nieskończoną długość albo gdy jest skończona i ma określoną impedancję falową, równania dają rozwiązanie w postaci fali przemieszczającej się z prędkością
Linia stratna Gdy elementy straty i nie są pomijalne, oryginalne równania różniczkowe opisujące segment elementarny linii przybiera postać:
Po zróżniczkowaniu pierwszego równania po i drugiego po oraz po dalszych przekształceniach algebraicznych uzyskuje się równania, z których każde zawiera tylko jedną niewiadomą:
Kierunek propagacji fali Powyższe równania wskazują na istnienie dwóch rozwiązań przemieszczania się fali, do przodu i do tyłu. Przyjmując uproszczenie linii bezstratnej (tj. i ), rozwiązanie można przedstawić równaniem:
gdzie:
– liczba falowa (jednostka: radian na metr), – częstość kołowa (radian na sekundę), i – dowolne funkcje, – prędkość fazowa fali.
Ponieważ równania telegrafistów wiążą natężenie prądu z napięciem, można zapisać analogiczne równanie dla natężenia prądu
gdzie jest impedancją falową linii przesyłowej, która dla linii bezstratnej jest dana przez:
Przypisy
Kategoria:Transmisja danych Telegrafistów