Homomorfizm grup – funkcja odwzorowująca grupę w grupę, czyli przekształcenie zachowujące strukturę tych algebrZ punktu widzenia teorii kategorii homomorfizmy są elementami klasy morfizmów kategorii grup dlatego nazywa się je czasami morfizmami grup.Jeżeli grupa wyposażona jest w dodatkową strukturę, to zwykle wymaga się, by homomorfizmy zachowywały całość struktury – przykładowo od homomorfizmów grup topologicznych wymaga się często, aby były dodatkowo ciągłe, czyli zachowywały określoną na nich strukturę topologiczną..
Zapoznanie się ze strukturą wewnętrzną grupy możliwe jest przede wszystkim poprzez obserwację sposobu, w jaki oddziałuje ona z innymi grupami albo sama z sobą; oddziaływanie to odbywa się właśnie za pomocą homomorfizmów, dlatego aby zrozumieć budowę danej grupy, należy zgłębić związane z nią homomorfizmy. Przykładem mogą być homomorfizmy danej grupy w grupę jej wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów), w grupę jej bijekcji (grupę symetryczną), czy ogólniej: w grupę bijekcji ustalonego zbioru – są to odpowiednio działanie grupy na zbiorze swoich elementów poprzez automorfizmy bądź bijekcje oraz działanie grupy na dowolnym zbiorzeDla grupy są to odpowiednio homomorfizmy oraz dla pewnego zbioru (zob. Działania). Inną tego rodzaju konstrukcją jest grupa z operatorami definiowana dla danego zbioru i grupy jako homomorfizm (zob. Niezmienniczość).. Ważnym wynikiem jest twierdzenie Cayleya mówiące, że elementy dowolnej grupy można utożsamiać z pewną podgrupą bijekcji danej grupy (grupy symetrycznej; wszystkie grupy można więc traktować jako grupy przekształceń). Przedstawienie grupy w postaci (wewnętrznego) iloczynu prostego dwóch jej podgrup można scharakteryzować za pomocą pary homomorfizmów wspomnianej grupy w siebie (mianowicie endomorfizmów ortogonalnych); homomorfizmy grupy w grupę wzajemnie jednoznacznych homomorfizmów (automorfizmów) innej grupyMają one postać dla grup pojawiają się m.in. w definicji zewnętrznego iloczynu półprostego (zob. iloczyny grup).
Definicja W dalszej części artykułu grupy zapisywane będą w notacji multiplikatywnej, o ile wprost nie zostanie zaznaczone inaczej. Niech będą grupami, w których działanie grupowe oznaczane będzie odpowiednio za pomocą zestawienia oraz kropkiZwyczajowo we wszystkich grupach działanie grupowe oznaczane jest w ten sam sposób (choć na danym zbiorze można określić zwykle wiele różnych grup), czyli przez zestawienie dla grup w notacji multiplikatywnej i za pomocą dodawania w notacji addytywnej; zapis addytywny jest standardem w teorii grup abelowych (przemiennych).. Przekształcenie nazywa się homomorfizmem grupy w grupę jeżeli dla każdego zachodzi
Działanie homomorfizmu na elemencie zwyczajowo zapisywane lub po prostu bywa w niektórych monografiach odwracane: można również spotkać się z oznaczeniem Wówczas własności charakteryzujące homomorfizm zapisuje się lub przy czym notacja „potęgowa” stosowana jest przede wszystkim dla grup w zapisie multiplikatywnym, a „iloczynowa” (prosta i odwrócona) zwykle dla grup w zapisie addytywnym, tzn. zamiast Oznaczenia, w których symbol homomorfizmu znajduje się po prawej stronie argumentu, pozostają wtedy w zgodzie z notacją złożenia funkcji odwracającą porządek przykładania funkcji, czyli wtedy oznacza W tym artykule oznacza przyłożenie funkcji a następnie czyli .
Własności Homomorfizmy
Od homomorfizmów ogólnych struktur algebraicznych wymaga się, by zachowywały każdy jej element składowy; w przypadku grup oprócz działania grupowego zachowywane powinny być więc element neutralny i odwracanie elementów. Dla homomorfizmów grup oba te warunki wynikają z powyższego; niech wtedy zachodzą następujące własności: zachowywanie elementu neutralnegoWłasność wynika z równości (pierwsza kropka oznacza działanie w ), do obu strony której przyłożono element odwrotny do
zachowywanie elementu odwrotnegoKolejno: z powyższej własności, definicji elementu odwrotnego i homomorfizmu jest co po lewostronnym przemnożeniu obu stron równania przez element odwrotny do daje żądaną własność.
Homomorfizmy zachowują również potęgę elementuDowodząc indukcyjnie: przypadek jest trywialny; jeżeli to W połączeniu z powyższymi własnościami można przyjąć, że W notacji addytywnej zachowywana jest wielokrotność elementu: dla co w przypadku grup przemiennych umożliwia postrzeganie ich jako -modułów.,
jednakże nie zachowują rzędu, a jedynie podzielnośćJeżeli to jest najmniejszą liczbą naturalną spełniającą zatem na mocy powyższej własności co daje tylko podzielność przez (zob. Przykłady i twierdzenie Lagrange’a)
Inne morfizmy
Endomorfizmem nazywa się dowolny homomorfizm Homomorfizm odwracalny, tzn. homomorfizm dla którego istnieje homomorfizm odwrotny czyli spełniający tożsamość gdzie jest homomorfizmem tożsamościowym odpowiedniej grupyInnymi słowy dla dowolnego musi zachodzić oraz dla dowolnego musi zachodzić , nazywa się izomorfizmem. Grupy dla których istnieje izomorfizm, nazywa się izomorficznymi i oznacza relacja izomorficzności grup jest relacją równoważności w klasie wszystkich grupWyróżnia się również tzw. -izomorficzność zbiorów zachodzącą, gdy grupa działa na tych zbiorach w taki sam sposób (zob. porównywanie działań grupy na zbiorze).
Endomorfizmy będące zarazem izomorfizmami nazywa się automorfizmami – można je uważać za uogólnienia symetrii grupy. Ponieważ izomorfizm odwrotny do izomorfizmu również jest izomorfizmem, to automorfizmy danej grupy tworzą grupę, w której działaniem jest ich składanie a elementem neutralnym jest izomorfizm tożsamościowy
Monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy mające odpowiednio lewo- i prawostronną własność skracania; z kolei bimorfizm to homomorfizm będący jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem; dowolny izomorfizm jest bimorfizmem, lecz niekoniecznie odwrotnie.
Powyższe definicje zaczerpnięte są wprost z teorii kategorii. Choć pojęcia endomorfizmu nie sposób sformułować w inny sposób, to izomorfizmy grup są w istocie ich bimorfizmami, przez co w teorii grup termin „bimorfizm” jest zupełnie nieznany i nieużywany. Na gruncie teorii mnogości monomorfizmy i epimorfizmy to homomorfizmy odpowiednio iniektywne (różnowartościowe) i suriektywne („na”), co oznacza, że izomorfizmy (bimorfizmy) są homomorfizmami bijektywnymi (wzajemnie jednoznacznymi). Do scharakteryzowania iniekcji i suriekcji wykorzystać można odpowiednio pojęcia jądra i obrazu funkcji – dzięki temu dla monomorfizmów jądro homomorfizmu będące relacją równoważności musi być równością (tzn. homomorfizm musi „odróżniać” wszystkie elementy dziedziny), a dla epimorfizmów obraz homomorfizmu musi być całą przeciwdziedziną.
Jądro i obraz
W algebrze jądro i obraz homomorfizmu definiuje się odpowiednio jako zbiory
oraz
gdzie i oznaczają odpowiednio obraz i przeciwobraz elementu bądź zbioru w przekształceniu Obraz jest podgrupą w a jądro jest podgrupą normalnąJądro jest w istocie podgrupą charakterystyczną. w odwrotnie: każda podgrupa normalna jest jądrem pewnego homomorfizmu (zob. dalej).
Monomorfizm można wówczas zdefiniować jako homomorfizm który ma trywialne jądro, z kolei epimorfizm to homomorfizm którego obraz jest całą przeciwdziedziną, Izomorfizm definiuje się jako homomorfizm spełniający oba powyższe warunki; definicje endomorfizmu i automorfizmu pozostają bez zmian (zob. wyżej).
Faktoryzacja
Podgrupa normalna wyznacza jednoznacznie podział na warstwy, w których zbiorze można wprowadzić wtedy strukturę grupy nazywanej grupą ilorazową grupy przez przekształcenie rzutowe grupy w zbiór warstw jest wtedy homomorfizmem; z tego powodu nazywany jest też homomorfizmem kanonicznym lub epimorfizmem kanonicznym (gdyż jako rzut jest suriekcją); określenia „kanoniczny” używa się zamiennie z „naturalny” (zob. transformacja naturalna).
Twierdzenie o homomorfizmie mówi, że istnieje jeden i tylko jeden monomorfizm spełniający z kolei twierdzenie o izomorfizmie zapewnia o izomorfizmie między a Grupę nazywa się niekiedy koobrazem z kolei jeżeli jest podgrupą normalną w to nazywa się kojądrem
Działania
Niech oznacza zbiór wszystkich przekształceń Dla dwóch przekształceń można określić punktowo działanie ich dodawania wzoremPoniższy wzór jest bardziej intuicyjny w notacji potęgowej:
dla wszystkich które jest łączne (własność odziedziczona z grupy ). Homomorfizm zerowy (zob. Przykłady) jest elementem neutralnym tego działania. Ponadto dla każdego istnieje element przeciwny dany wzoremW notacji potęgowej: Tzn. spełnia on tj. skąd dla każdego . Innymi słowy tworzy grupę względem wyżej opisanego dodawania przekształceń (nie tworzy jej z działaniem ich składania); jest ona przemienna, jeżeli jest przemiennaW notacji addytywnej powyższe wzory są jeszcze bardziej sugestywne: czy dla .
Niech oznacza zbiór wszystkich przekształceń grupy w siebie, wówczas oznacza grupę symetryczną zawierającą bijekcje czyli przekształcenia odwracalne należące do Dodawanie przekształceń w siebie jest rozdzielne prawostronnie względem ich złożenia (wg konwencji wiążącego silniej niż dodawanie): jeżeli to
jednak w ogólności nie jest rozdzielne lewostronnie, tzn. Strukturę określoną na zbiór z działaniami dodawania (grupa) i składania jako mnożenia (półgrupa) rozdzielnymi (prawostronnie) względem siebie nazywa się quasi-pierścieniem. Wspomniana półgrupa jest w istocie monoidem, gdyż składanie ma element neutralny w postaci przekształcenia tożsamościowego
Klasę wszystkich homomorfizmów grupowych będącą podzbiorem oznacza się symbolem z kolei zbiór endomorfizmów grupy oznacza się Ponieważ dla ich złożenie to jest podmonoidem monoidu (zbiór z działaniem łącznym i elementem neutralnym) mimo wszystko nie musi należeć do jeśli jednak tak jest, to o endomorfizmach mówi się, że są addytywne – ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny element jest przemienny z dowolnym elementem Równanie jest równoważne , co więcej Podstawiając w poprzednim rozumowaniu otrzymuje się dla każdego .
Jeśli zaś to dodawanie jest rozdzielne lewostronnie względem składaniaDla dowolnego zachodzi przy czym w trzeciej równości korzysta się z założenia, iż ,
Gdy jest grupą abelową (przemienną), to z powyższego wynika, że ma strukturę pierścienia nazywanego pierścieniem endomorfizmów grupy Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne: jeżeli to z powyższego wynika, że jest abelowa.
Dodawanie homomorfizmów grup abelowych jest rozdzielne względem ich złożenia: jeżeli oraz i są homomorfizmami grup abelowych to oraz Wynika stąd, że kategoria wszystkich grup abelowych z ich homomorfizmami tworzy kategorię preaddytywnąW starszych pozycjach, np. (Semadeni i Wiweger, 1978; s. 251–252), kategorie te nazywa się kategoriami addytywnymi.; istnienie sum prostych dowolnych grup abelowych pełniących rolę ich biproduktu, czyni z niej kategorię addytywną. Ponieważ dla każdego homomorfizmu istnieje dobrze określone jądro i kojądro, to wspomniana kategoria grup abelowych jest kategorią preabelową, a skoro wszystkie monomorfizmy i epimorfizmy są normalne, to jest kategorią abelową; w istocie kategoria grup abelowych była prototypem dla kategorii abelowych.
Niezmienniczość
Zbiór elementów odwracalnych (ze względu na ich składanie funkcji) w nazywa się grupą automorfizmów grupy Elementem odwrotnym do jest . Przekształcenie grupy w grupę jej automorfizmów dane wzorem gdzie automorfizm jest automorfizmem wewnętrznym, tzn. dla dowolnego jest homomorfizmem grup, ponieważPierwsza i trzecia równość zachodzą z definicji druga jest prawdziwa na mocy równości dla dowolnego (dowód drugiej równości, zob. grupa).
Jądrem tego homomorfizmu jest zbiór
wszystkich elementów przemiennych z dowolnym elementem grupy, czyli centrum grupy obrazem jest z kolei
czyli zbiór wszystkich automorfizmów wewnętrznych automorfizmy te tworzą podgrupę w która jest normalna – grupę ilorazową nazywa się grupą automorfizmów zewnętrznych pomimo że składa się ona ze zbiorów automorfizmów, które nie są wewnętrzne, a nie tych automorfizmów.