Kryterium Cauchy’ego (nazywane także kryterium pierwiastkowym Cauchy’ego dla odróżnienia od kryterium całkowego Cauchy’ego) – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych, udowodnione przez Cauchy’ego w podręczniku Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Analyse algébrique z 1821.
Kryterium Niech dany będzie szereg liczbowy
o wyrazach nieujemnych. Jeżeli
to szereg jest zbieżny. Jeżeli
to szereg jest rozbieżny.
Wersja graniczna kryterium Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica
to gdy szereg jest zbieżny, oraz gdy szereg jest rozbieżny.
Dowód W przypadku, gdy
istnieją takie liczby i że
dla każdego To oznacza, że dla zachodzi nierówność
czyli
co dowodzi zbieżności bezwzględnej szeregu .
W przypadku, gdy
to istnieje podciąg wyrazów , którego granica jest większa od .
To oznacza, że dla nieskończenie wielu wskaźników zachodzi nierówność:
Jeśli nieskończenie wiele wyrazów ciągu jest większych od , to ciąg nie może zbiegać do zera:
Oznacza to, że szereg jest rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.
Przykład zastosowania Rozważmy szereg
Wówczas
Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg jest zbieżny.
Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzyga o zbieżności Kryterium Cauchy’ego nie pozwala rozstrzygnąć czy szereg jest zbieżny, gdy
Aby to zilustrować, rozważmy ciągi (an), (bn), gdzie
Wówczas
(korzystamy z faktu, że ). Jednak jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a jest zbieżny (zob. problem bazylejski).
Porównanie z kryterium d’Alemberta
Kryterium Cauchy’ego jest silniejsze niż kryterium d’Alemberta, tzn. jeśli szereg o wyrazach dodatnich spełnia jeden z warunków kryterium d’Alemberta, to spełnia też warunek kryterium Cauchy’ego; przeciwna implikacja nie zachodzi. Istotnie, załóżmy, że szereg spełnia pierwszy z warunków z kryterium d’Alemberta, tzn.
Wówczas istnieją liczba oraz taka, że
dla dowolnego Wówczas dla każdego Zatem
Twierdzenia tego nie da się odwrócić, co ilustruje następujący przykład.
Niech dany będzie szereg
Wówczas ogólny wyraz tego szeregu jest postaci
Zauważmy, że
oraz
Zatem na mocy kryterium Cauchy’ego szereg jest zbieżny. Z drugiej strony
co pokazuje, że szereg nie spełnia warunku z kryterium d’Alemberta.
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne [dostęp 2022-06-20]. Cauchy test , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Cauchy’ego