Twierdzenie Riesza-Skorochoda – twierdzenie z pogranicza teorii miary i analizy funkcjonalnej, postulujące, że dla nieujemnego funkcjonału liniowego, spełniającego warunek Skorochoda, istnieje dokładnie jedna miara, po której całka jest tym funkcjonałem.
Ustalenia wstępne Ustalmy przestrzeń metryczną i niech: – σ-ciało wszystkich podzbiorów borelowskich przestrzeni – przestrzeń wszystkich ciągłych i ograniczonych odwzorowań przestrzeni w z normą supremum.
Funkcjonał liniowy nazywamy nieujemnym, gdy dla każdej ciągłej i ograniczonej funkcji
Uwagi Każdy nieujemny funkcjonał liniowy jest ciągły, oraz Jeżeli jest miarą skończoną, to funkcjonał dany wzorem
jest liniowy i nieujemny, a jeżeli przestrzeń jest przestrzenią polską, to spełniony jest:
Warunek Skorochoda Dla każdego istnieje taki zbiór zwarty że
Twierdzenie Riesza-Skorochoda Jeżeli nieujemny funkcjonał liniowy spełnia warunek Skorochoda, to istnieje dokładnie jedna taka miara że dla
Wniosek Dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego istnieje dokładnie jedna taka σ-addytywna funkcja zbiorów że dla
Riesza-Skorochoda Riesza-Skorochoda