Liczby całkowite Eisensteina, liczby Eisensteina-Jacobiego – liczby postaci gdzie i są liczbami całkowitymi,

oraz jest jednostką urojoną. jest pierwiastkiem zespolonym równania . Zarówno suma, różnica, jak i iloczyn liczb Eisensteina również są liczbami Eisensteina, tworzą więc one pierścień. Pierścień ten jest euklidesowy z normą daną wzorem .

W szczególności, pierścień liczb całkowitych Eisensteina jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.

Na płaszczyźnie zespolonej liczby całkowite Eisensteina są węzłami regularnej sieci trójkątnej (złożonej z trójkątów równobocznych, jak na rysunkach poniżej).

Zbiór liczb pierwszych Eisensteina jest (z dokładnością do mnożenia przez niżej wspomniane elementy odwracalne) sumą dwóch zbiorów: zbioru liczb takich że jest liczbą pierwszą, taką że oraz zbioru liczb takich że jest taką liczbą pierwszą że thumb|center|550px|Liczby pierwsze Eisensteina mogą być liczbami całkowitymi, ale wiele z nich ma niezerową część urojoną. Na rysunku liczby pierwsze Eisensteina zostały wyróżnione kolorem zielonym, a elementy odwracalne kolorem czerwonym. Grupa elementów odwracalnych pierścienia liczb całkowitych Eisensteina jest sześcioelementowa i składa się z liczb: .

Na płaszczyźnie zespolonej można ją zinterpretować jako grupę obrotów dokoła początku układu współrzędnych generowaną przez obrót o 60° (na przykład w kierunku przeciwnym do obrotu wskazówek zegara). Wynika stąd, że liczb pierwszych Eisensteina wystarczy szukać wewnątrz jakiegokolwiek kąta o mierze 60° o wierzchołku w punkcie 0 (np. kąta, którego pierwsze ramię pokrywa się z dodatnią półosią osi odciętych, a drugie ramię przechodzi przez punkt ).

Przykłady mały|300px|Małe liczby pierwsze Eisensteina. Te, które leżą na zielonych osiach, odpowiadają całkowitym liczbom pierwszym postaci

Liczbami pierwszymi Eisensteina są następujące liczby naturalne: 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101. Liczbami pierwszymi Eisensteina nie są liczby 3 ani 7, bo Liczbami pierwszymi Eisensteina są liczby

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa

Linki zewnętrzne

[dostęp 2025-10-21].

Kategoria:Algebraiczna teoria liczb Kategoria:Rodzaje pierścieni Kategoria:Rodzaje liczb zespolonych