Lemat o π- i λ-układach – lemat łączący koncepty π-układu i λ-układu, po raz pierwszy pojawił się w pracach Wacława SierpińskiegoUn théorème générale sur les families d’ensemble, Fundamenta Mathematicae 12 (1928), s. 206–210.. Dla potrzeb rachunku prawdopodobieństwa odkrył go ponownie Eugene DynkinWstęp do teorii prawdopodobieństwa, Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel, SCRIPT, Warszawa 2004, wyd. III..
Uwaga Jeśli rodzina podzbiorów zbioru jest jednocześnie π-układem i λ-układem podzbiorów zbioru to jest ona σ-ciałem podzbiorów zbioru
Dowód Pokażemy, że Ponieważ jest λ-układem:
oraz Następnie wykażemy, że
więc z własności λ-układu:
Pozostaje do pokazania: Ustalmy dowolnie Wówczas także (λ-układ): Korzystając z własności π-układu mamy: Ale Wobec tego, również: Zdefiniujmy wstępujący ciąg zbiorów, postaci: Ciąg zbiorów jest wstępującym ciągiem zbiorów należących do (λ-układu) Wobec tego:
Lemat Jeśli λ-układ podzbiorów zbioru zawiera π-układ to zawiera czyli σ-ciało generowane przez
Dowód Zdefiniujmy: jest λ-układem oraz
jest λ-układem Pokażemy, że jest także π-układem: Niech
jest λ-układem Ponieważ jest najmniejszym λ-układem zawierającym mamy: tzn. Niech korzystając z otrzymujemy jest λ-układem
tzn. jest więc π-układem Korzystając z uwagi wnioskujemy, że jest σ-ciałem podzbiorów zbioru zawierającym π-układ Wobec tego
Zobacz też klasa monotoniczna
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Twierdzenia teorii miary O O Kategoria:Algebra zbiorów fr:Lemme de classe monotone