Kumulanta to pojęcie z zakresu teorii prawdopodobieństwa i statystyki.
Kumulantami rozkładu prawdopodobieństwa nazywamy wielkości spełniające własność:
gdzie jest zmienną losową, dla rozkładu prawdopodobieństwa której obliczane są kumulanty. Innymi słowy, jest -tym współczynnikiem w rozwinięciu w szereg potęgowy logarytmu funkcji generującej momenty. Logarytm funkcji generującej momenty nazywany jest funkcją generującą kumulanty.
Problem kumulant to próba uzyskania funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa z jego ciągu kumulant. W niektórych przypadkach rozwiązanie problemu nie istnieje, w niektórych istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, w niektórych więcej niż jedno rozwiązanie.
Niektóre własności kumulant Niezmienniczość Zachodzą następujące własności:
dla
gdzie jest stałą.
Oznacza to, że stałą dodajemy tylko do pierwszej kumulanty, wyższe kumulanty pozostają niezmienione.
Jednorodność Kumulanty są jednorodne stopnia n, to znaczy:
Addytywność Jeśli i są niezależnymi zmiennymi losowymi, to zachodzi:
Kumulanty a momenty zwykłe i centralne Kumulanty są powiązane z momentami zwykłymi następującą zależnością:
-ty moment zwykły jest wielomianem -tego stopnia w pierwszych kumulantach:
Aby uzyskać wzory na zależność między kumulantami a momentami centralnymi, należy we wszystkich wzorach opuścić składniki, gdzie występuje jako czynnik.
Kumulanty i podział zbioru Kumulanty mają ciekawą interpretację kombinatoryczną: współczynniki definiują określone podziały zbioru. Ogólna postać tych wielomianów to:
gdzie: przebiega przez wszystkie podziały zbioru -elementowego, „” jest jednym z bloków, na które zbiór jest podzielony, jest liczebnością zbioru
Każdy jednomian to stała pomnożona przez iloczyn kumulant, w których suma indeksów wynosi (np. dla suma indeksów wynosi 3 + 2 + 2 + 1 = 8, pojawia się ona w wielomianie, który wyraża ósmą kumulantę za pomocą ośmiu pierwszych kumulant). Podziałowi liczby całkowitej odpowiadają poszczególne składniki. Współczynniki w każdym składniku to liczba podziałów -elementowego zbioru, które łączą się w podziały kiedy elementy zbioru stają się nierozróżnialne.
Kumulanty niektórych rozkładów prawdopodobieństwa Kumulanty rozkładu normalnego o średniej i odchyleniu standardowym wynoszą i dla
Wszystkie kumulanty rozkładu Poissona są równe wartości oczekiwanej tego rozkładu.
Rozkład z danymi kumulantami może być przybliżony lub .
Zobacz też przegląd zagadnień z zakresu statystyki funkcja charakterystyczna (transformata Fouriera) funkcja tworząca momenty (transformata Laplace’a) funkcja tworząca prawdopodobieństwa (transformata Laurenta lub Z-transformata) moment zwykły moment centralny
Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa Kategoria:Miary rozkładu