Liczby pierwsze Ramanujana – liczby pierwsze występujące w uogólnieniu postulatu Bertranda, sformułowanego w 1845 roku przez Josepha Bertranda, a dowiedzionego w 1850 przez Pafnucego Czebyszewa, i od tego czasu zwanego twierdzeniem Czebyszewa. Dowód ten niezależnie uzyskał w 1919 Srinivasa Ramanujan.
Interpretacja Rozpatrujemy liczbę liczb pierwszych znajdujących się w drugiej połowie odcinka , to znaczy liczbę liczb pierwszych w odcinku . Liczba ta oczywiście zależy od . Nazwijmy ją . Wartość tę matematycy zapisują używając funkcji π jako . Na przykład wartością będzie liczba liczb pierwszych w przedziale . W tym przedziale jedynymi liczbami pierwszymi są liczby 5 i 7, więc . Początkowe wartości funkcji wynoszą:
...
Funkcja f rośnie w punktach będących liczbami pierwszymi, a maleje w punktach postaci , gdzie jest pierwsza.
Twierdzenie Czebyszewa mówi, że funkcja jest dodatnia dla parzystych liczb .
Okazuje się, że funkcja zbiega do nieskończoności. To znaczy dla każdego k istnieje takie m, że dla wszystkich , tj.:
Najmniejszą liczbę spełniającą powyższy warunek nazywamy -tą liczbą Ramanujana. Przykładowo dla nierówność jest stale spełniona dopiero dla , czyli drugą liczbą Ramanujana jest liczba 11.
Ponieważ funkcja rośnie w punktach będących liczbami pierwszymi, wszystkie liczby Ramanujana są liczbami pierwszymi.
Początkowe elementy ciągu liczb pierwszych Ramanujana 2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, 503, 569, 571, 587, 593, 599, 601, 607, 641, 643, 647, 653, 659 ... .
Linki zewnętrzne [dostęp 2022-07-02].
R