Odwzorowanie nierozszerzające, nieoddalające, słaba kontrakcja – odwzorowanie przestrzeni metrycznych, które nie zwiększa odległości punktów. Formalnie: niech oraz będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie nazywamy nierozszerzającym, jeśli dla dowolnych zachodzi nierówność:
Innymi słowy, odwzorowanie nierozszerzające to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą równą 1.
Własności Każde odwzorowanie nierozszerzające, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest jednostajnie ciągłe, a więc w szczególności ciągłe.
W przeciwieństwie do kontrakcji, odwzorowanie nierozszerzające przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie może nie mieć punktów stałych (np. translacje w przestrzeniach Banacha) lub mieć ich wiele (np. identyczność na ). Przy dodatkowych założeniach o można jednak wykazać istnienie punktu stałego. Przykładowo, jeśli jest niepustym, domkniętym, ograniczonym i wypukłym podzbiorem przestrzeni Hilberta, to ma punkt stały (twierdzenie Browdera-Goehde’a-Kirka).
Teoria kategorii Odwzorowania nierozszerzające są morfizmami w kategorii przestrzeni metrycznych.
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa Baillon, J. B. (1988). Nonexpansive mappings and hyperconvex spaces. Contemporary Mathematics, 72, 11-19. Borkowski, M. (2010). Przestrzenie metryczne hiperwypukłe i ich zastosowania w teorii punktu stałego. Praca magisterska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu.
Kategoria:Geometria metryczna Kategoria:Teoria punktów stałych