Przestrzeń Sierpińskiego – przykład przestrzeni topologicznej mającej dwa punkty, z których tylko jeden jest domknięty. Jest szczególnym przykładem przestrzeni Aleksandrowa.
Konstrukcja Niech będą dwoma różnymi punktami. Rodzina
jest topologią w zbiorze Przestrzeń topologiczna nazywana jest przestrzenią Sierpińskiego.
Własności Przestrzeń jest (z dokładnością do homeomorfizmu) jedyną przestrzenią topologiczną dwuelementową różną od przestrzeni dyskretnej i antydyskretnej. Przestrzeń spełnia aksjomat T0 (najsłabszy z aksjomatów oddzielania), ale nie spełnia aksjomatu T1. Każda T0-przestrzeń wagi jest homeomorficzna z pewną podprzestrzenią produktu kopii przestrzeni Sierpińskiego (tzw. kostką Aleksandrowa wagi ). Innymi słowy, jeśli jest (nieskończoną) liczbą kardynalną, to kostka jest przestrzenią uniwersalną dla klasy wszystkich T0-przestrzeniПа́вел Серге́евич Алекса́ндров, К теории топологических пространств, ДАН СССР Т. 2 (1936), s. 51–54.. Przestrzeń jest drogowo spójna, ale nie jest łukowo spójna.
Kazimierz Alster zauważył, że przestrzeń Sierpińskiego jest obrazem uniwersalnym dla klasy wszystkich topologicznych przestrzeni spójnych.
Zobacz też przestrzeń Aleksandrowa skończona przestrzeń topologiczna
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Przykłady przestrzeni topologicznych