mały|Wartość bezwzględna – prosty przykład funkcji, która ma granice niewłaściwe w nieskończoności; konkretniej w obu nieskończonościach ma granicę niewłaściwą dodatnią (+∞). mały|Funkcja ma w zerze (punkcie ) granicę niewłaściwą dodatnią. mały|Funkcja odwrotności y=1/x nie ma nigdzie granic niewłaściwych, jednak ma w zerze niewłaściwe granice jednostronne – z prawej strony dodatnią, a z lewej ujemną.
Granica niewłaściwa funkcji – pojęcie analizy matematycznej definiowane analogicznie do granicy funkcji – w punkcie lub nieskończoności; granica niewłaściwa nie jest liczbą rzeczywistą ani zespoloną w ścisłym, skończonym sensie, lecz elementem pewnych rozszerzeń tych zbiorów. W przypadku funkcji rzeczywistych zwykle za zbiór granic przyjmuje się rozszerzenie afiniczne, to znaczy wyróżnia się dwie możliwe granice niewłaściwe: dodatnią lub ujemną. Granice niewłaściwe występują dla niektórych funkcji nieograniczonych.
Niewłaściwe granice w nieskończoności dotyczą m.in. wszystkich funkcji nieograniczonych monotonicznych. Z kolei granice niewłaściwe w punkcie definiuje się na końcach przedziałów otwartych określoności funkcji, czyli w punktach skupienia jej dziedziny spoza tej dziedziny. Punkty z granicą niewłaściwą bywają zaliczane do punktów nieciągłości funkcji, konkretniej do nieciągłości nieusuwalnych.
Definicje Heinego granic niewłaściwych Definicje sformułowane przez Heinego.
Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności Niech funkcja będzie określona na przedziale Funkcja ma w granicę niewłaściwą co zapisujemy
wtedy i tylko wtedy, gdy
Granica niewłaściwa funkcji funkcji w minus nieskończoności Niech funkcja będzie określona na przedziale Funkcja ma w granicę niewłaściwą co zapisujemy
wtedy i tylko wtedy, gdy
Granica niewłaściwa i ujemna funkcji w nieskończoności Niech funkcja będzie określona na przedziale Funkcja ma w granicę niewłaściwą co zapisujemy
wtedy i tylko wtedy, gdy
Granica niewłaściwa i ujemna funkcji w minus nieskończoności Niech funkcja będzie określona na przedziale Funkcja ma w granicę niewłaściwą co zapisujemy
wtedy i tylko wtedy, gdy
Linki zewnętrzne Jarosław Woźniak, Aneta Rogalska, Granica niewłaściwa funkcji w punkcie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-08-19]. Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 5: Obliczanie granic, 3. Arytmetyka granic niewłaściwych, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-19]. Szymon Charzyński, nagrania na kanale Khan Academy Po Polsku na YouTube [dostęp 2023-08-19]: Wprowadzenie do granic niewłaściwych, 27 marca 2022. Granice niewłaściwe i asymptoty, 4 kwietnia 2022. Granice niewłaściwe funkcji wymiernych, 2 maja 2017.
Kategoria:Funkcje matematyczne Niewłaściwa funkcji