Przestrzeń jednostajnie wypukła – przestrzeń unormowana spełniająca warunek
Intuicyjnie, przestrzeń jednostajnie wypukła to przestrzeń unormowana, której geometria przypomina geometrię przestrzeni unitarnej. W szczególności każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią jednostajnie wypukłą.
Przykłady Przestrzenie unitarne Z tożsamości równoległoboku wynika, ze przestrzenie unitarne są jednostajnie wypukłe. Istotnie, dla ustalonego oraz punktów o normach spełniony jest warunek
skąd wynika, że
Przestrzenie James A. Clarkson udowodnił, że dla dowolnego i miary dodatniej przestrzeń Lp(μ) jest jednostajnie wypukła (w szczególności, przestrzenie ℓp są jednostajnie wypukłe dla )J.A. Clarkson, Uniformly convex spaces, „Trans. Amer. Math. Soc.” 40 (1936), s. 396–414..
Prostym przykładem przestrzeni, która nie jest jednostajnie wypukła jest płaszczyzna z normą
Jednostajna wypukłość a refleksywność
Twierdzenie Milmana-Pettisa orzeka, że każda przestrzeń Banacha jednostajnie wypukła jest refleksywna. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi, gdyż istnieją przestrzenie skończenie wymiarowe (a więc refleksywne), które nie są jednostajnie wypukłe. Co więcej, DayM.M. Day, Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces, „Bull. Amer. Math. Soc.” 47 (1941), s. 313–317. wykazał, że istnieją refleksywne przestrzenie Banacha na których nie można wprowadzić normy jednostajnie wypukłej, na przykład
Zbieżność W przestrzeni jednostajnie wypukłej jeśli ciąg punktów tej przestrzeni jest słabo zbieżny do punktu oraz
to ciąg jest zbieżny normowo (do ).
Przypisy
Bibliografia O. Hanner, On the uniform convexity of Lp and lp, „Ark. Mat.” 3 (1956), s. 239–244.
Kategoria:Przestrzenie Banacha