Pierścień lokalny – pierścień przemienny, który ma dokładnie jeden ideał maksymalny. Niektórzy autorzy pierścień przemienny o jedynym ideale maksymalnym nazywają quasi-lokalnym, rezerwując termin pierścień lokalny dla pierścieni quasi-lokalnych i noetherowskich.

Własności Pierścień przemienny jest pierścieniem lokalnym wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego każdych dwóch elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym. Pierścień jest lokalny i jest jedynym ideałem maksymalnym pierścienia wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru jest odwracalny. Jeżeli jest pierścieniem lokalnym i noetherowskim o ideale maksymalnym to

Jest to szczególny przypadek twierdzenia Krulla o przekroju. Założenia, że jest pierścieniem noetherowskim nie można pominąć.

Przykłady Każde ciało jest pierścieniem lokalnym (jego jedynym ideałem maksymalnym jest ). Pierścień szeregów formalnych o skończonej liczbie zmiennych i o współczynnikach z ciała jest pierścieniem lokalnym. Pierścień lokalny kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych. Niech będzie przestrzenią topologiczną oraz Rozpatrzmy zbiór par gdzie jest otoczeniem punktu i jest funkcją ciągłą. Określmy relację dla pewnego otoczenia punktu Relacja ta jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji zawierającą parę oznaczmy W zbiorze klas abstrakcji możemy wyróżnić jako element zerowy i jako jedynkę oraz odpowiednio zdefiniować działania dodawania i mnożenia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem lokalnym kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych w punkcie przestrzeni topologicznej i oznaczamy przez Pierścień ten jest lokalny, gdyż jego jedynym ideałem maksymalnym jest ideał złożony z wszystkich klas abstrakcji że Podobnie określa się pierścienie kiełków zespolonych funkcji ciągłych, różniczkowalnych (rzeczywistych bądź zespolonych) funkcji ustalonej klasy w punkcie rozmaitości różniczkowej a także pierścień kiełków funkcji regularnych w punkcie rozmaitości algebraicznej. Lokalizacja względem ideału pierwszego. Dla dowolnego pierścienia przemiennego i jego ideału pierwszego pierścień złożony z elementów postaci gdzie jest pierścieniem lokalnym. Jego ideał maksymalny jest złożony z elementów dla których Dla nierozkładalnego podzbioru zbioru algebraicznego pierścień wszystkich funkcji wymiernych, które są określone na otwartych podzbiorach jest pierścieniem lokalnym, którego ideałem maksymalnym jest zbiór funkcji wymiernych równych 0 na Dla zbiorów afinicznych jest to lokalizacja pierścienia wielomianów względem ideału radykalnego odpowiadającego podzbiorowi.

Uogólnienie na pierścienie nieprzemienne Pojęcie pierścienia lokalnego ma dwa (nierównoważne) uogólnienia w klasie pierścieni nieprzemiennych. I tak pierścień (być może nieprzemienny) nazywany jest pierścieniem lokalnym, gdy pierścień ilorazowy jest pierścieniem z dzieleniem; pierścieniem semilokalnym, gdy jest pierścieniem artinowskim.

Ponadto, dla dowolnego pierścienia następujące warunki są równoważne: jest pierścieniem lokalnym; ma dokładnie jeden ideał lewostronny; ma dokładnie jeden ideał prawostronny; zbiór wszystkich elementów nieodwracalnych w jest ideałem; dla każdej liczby naturalnej i o ile tylko element jest odwracalny, to istnieje takie że jest odwracalny.

Pierścienie lokalne mają dokładnie jeden ideał maksymalny oraz nie mają elementów idempotentnych innych niż 0 i 1. Przykładem nieprzemiennego pierścienia lokalnego jest pierścień macierzy górnotrójkątnych ustalonego stopnia nad pierścieniem z dzieleniem, których wyrazy na głównej przekątnej są sobie równe.

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa

Linki zewnętrzne [dostęp 2025-12-04]. Local ring , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-05].

Kategoria:Rodzaje pierścieni