Słaba pochodna – rozszerzenie pojęcia pochodnej na funkcje lokalnie całkowalne. Pojęcie słabej pochodnej ma szerokie zastosowania w teorii równań różniczkowych cząstkowych.
Ustalenia wstępne Niech będzie obszarem oraz niech oznacza przestrzeń wszystkich funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych w ze zwartym nośnikiem, zawartym w Ponadto, niech
Jeśli jest funkcją różniczkowalną w sposób ciągły w to stosując wzór na całkowanie przez części, można pokazać, że (oczywiście uwzględniając to, że funkcją ma zwarty nośnik, tzn. jest równa zero w pewnym otoczeniu brzegu domknięcia zbioru U):
dla
Ogólniej, jeśli jest funkcją -krotnie różniczkowalną w sposób ciągły w a jest wielowskaźnikiem, to
W teorii równań różniczkowych cząstkowych czasem istnieje potrzeba ograniczenia założeń co do gładkości funkcji . Powstaje wówczas pytanie, czy istnieje funkcja dla której zastąpienie w powyższym wzorze daje tożsamość prawdziwą dla wszystkich .
Definicja Niech funkcje będą lokalnie całkowalne w zbiorze Tzn. są elementami przestrzeni gdzie dla ustalonego zbiór oraz niech będzie takie jak wyżej. Mówimy, że funkcja jest -tą słabą pochodną funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdej funkcji Jeśli jest -tą słabą pochodną funkcji to zapisujemy to
Uwaga Jeśli dwie funkcje spełniają powyższy warunek, to zachodzi równość prawie wszędzie w . Innymi słowy, jeśli słaba pochodna istnieje, to jest wyznaczona jednoznacznie.
Przykład Funkcja dana wzorem
nie jest różniczkowalna w punkcie , jednak funkcja signum jest jej słabą pochodną.
Zobacz też podróżniczka przestrzeń Sobolewa
Uwagi
Kategoria:Pochodne i różniczki Kategoria:Równania różniczkowe Kategoria:Analiza funkcjonalna