thumb|300px|Przybliżenia Padégo funkcji tangens thumb|300px|Przybliżenia Padégo funkcji wykładniczej Przybliżenie Padégo – metoda aproksymacji funkcji za pomocą funkcji wymiernych danego rzędu. Często daje lepszy wynik niż szereg Taylora dla tej samej liczby współczynników, kiedy funkcja posiada bieguny.
Jej odkrywcą jest Henri Padé.
Definicja Dla danej funkcji i dwóch liczb naturalnych przybliżeniem Padégo rzędu jest funkcja wymierna
której pochodne równają się pochodnym do najwyższego możliwego rzędu
Ściślej i ogólniej funkcja wymierna jest przybliżeniem Padégo rzędu formalnego szeregu potęgowego nad ciałem jeżeli:
(równoważnie )
Obliczanie Jeżeli rozwinięcie funkcji w szereg Taylora ma postać
to współczynniki w przybliżeniu Padégo spełniają układ równań dla
Przy czym przyjmuje się, że
dla dla
Przykład Należy wyliczyć wielomian przybliżający w punkcie 0. Mamy Z szeregu Taylora, który dla punktu 0 staje się szeregiem Maclaurina mamy ogólnie dla
Układamy układ równań: pierwsza część
druga część
oraz
Wpisujemy do macierzy najpierw pierwsze niewiadomych, a potem drugie otrzymując macierz:
oraz wektor wyrazów wolnych składający się z samych zer z wyjątkiem ostatniej jedynki. Następnie wyliczamy posługując się na przykład metodą eliminacji Gaussa, otrzymujemy co daje
co jest zgodne z przykładami Wolframu z dokładnością do mnożnika licznika i mianownika.
Wypełnianie macierzy Niech N=m+n+2 będzie rozmiarem macierzy A z normalnym indeksem liczonym od 1 do N.
Czyścimy macierz inicjując ją zerami; for (int i = 0; i <= m; i++)
for (int j = 0; j <= i; j++)
if (j<=n) A[i+1, m+j+2] = c[i – j];
A[i+1, i+1] = -1;
for (int i = 0; i<= n – 1; i++) for (int j = 0; j <= n; j++) A[m + i + 2, m + j + 2] = c[m + n – i – j]; ; końcowe b0 = 1 A[m + n + 2, m + 2] = 1;
Przypisy
Bibliografia
, Jerome Soucy Université Laval
Linki zewnętrzne Module for Padé Approximation by John H. Mathews Padé Approximants by Oleksandr Pavlyk, The Wolfram Demonstrations Project.
Kategoria:Metody numeryczne Kategoria:Funkcje wymierne