thumb|300px|Styczna do wykresu funkcji przechodząca przez punkt Aproksymacja liniowa funkcji – przybliżenie jej za pomocą funkcji liniowej.
Interpolacja liniowa
Szczególnym przypadkiem aproksymacji liniowej jest interpolacja liniowa, w której wybierane są dwa różne argumenty funkcji, zwane węzłami, po czym konstruowana jest funkcja liniowa mająca w węzłach te same wartości co funkcja przybliżana.
Aproksymacja za pomocą wzoru Taylora Dla danej funkcji różniczkowalnej jednej zmiennej, na mocy wzoru Taylora dla można napisać:
gdzie jest tzw. resztą Peana, spełniającą warunek:
Wyrażenie aproksymujące powstaje przez odrzucenie reszty:
i przybliżenie to jest tym lepsze, im jest bliższe Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie o współrzędnych
Analogiczne wyrażenie otrzymamy dla funkcji o wartościach (lub argumentach) wektorowych, przy czym pochodną zastępuje macierz Jacobiego funkcji. Na przykład jeżeli jest funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych, otrzymujemy wzór:
Wyrażenie po prawej stronie przedstawia równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni, będącej wykresem funkcji w punkcie o współrzędnych
Uogólnienie powyższego na przypadek przestrzeni Banacha wygląda następująco:
gdzie jest pochodną Frecheta funkcji dla
Przykład Aproksymację liniową można wykorzystać do obliczenia przybliżonej wartości Rozważana jest funkcja Problem polega na obliczeniu przybliżonej wartości funkcji Jest
Korzystając z aproksymacji liniowej:
Otrzymany wynik 2,926, niewiele różni się od wartości dokładnej 2,924…
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-10-06]. Approximation of functions, linear methods , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-10-06].
Kategoria:Aproksymacja Kategoria:Zastosowania funkcji liniowych