Twierdzenie Banacha o kontrakcji, o punkcie stałym, zasada Banacha – twierdzenie topologii i teorii punktu stałego, dotyczące zupełnych przestrzeni metrycznych. Mówi ono, że dowolna kontrakcja takiej przestrzeni ma dokładnie jeden punkt stały. Do treści tego twierdzenia włącza się też konstruktywny dowód pierwszego faktu – do punktu stałego zbiega dowolny ciąg wartości iteracji danej kontrakcji, zaczynający się w dowolnym miejscu.
Ilustracją twierdzenia bywa obrazowa konsekwencja: gdy mapę Polski rozłoży się gdziekolwiek na ziemi w Polsce, to dokładnie jeden punkt powierzchni gruntu leży pod swoim obrazem Szymon Wąsowicz, Opowieść o mapie, blog „Być matematykiem”, byc-matematykiem.pl, 15 marca 2015 [dostęp 2023-08-25]..
Twierdzenie to opublikował Stefan Banach w 1922 roku w czasopiśmie „Fundamenta Mathematicae”, w kontekście przestrzeni Banacha. Znalazło zastosowanie w analizie matematycznej, m.in. w badaniach równań różniczkowych, całkowych i analizie numerycznej. Udowodniono też: uogólnienia – analogiczne własności szerszych klas funkcji; odwrócenia – pewne własności funkcji zdefiniowane punktami stałymi pociągają za sobą kontrakcyjność.
Treść Jeśli jest przestrzenią metryczną zupełną, zaś jest kontrakcją, to Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 2, Wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych, 3. Zupełność, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-25].: odwzorowanie ma dokładnie jeden punkt stały oraz dla dowolnego ciąg jest zbieżny do
Dowód Najłatwiej wykazać jednoznaczność punktu stałego: niech bowiem będzie stałą Lipschitza kontrakcji a jej punktami stałymi. Mamy wówczas
W ostatnim kroku skorzystano z ograniczeń na stałą implikujących Finalna nierówność zachodzi tylko dla co z definicji metryki oznacza, że a więc istnieje co najwyżej jeden punkt stały.
Aby wykazać pozostałą część tezy, wybierzmy dowolny punkt i oszacujmy odległość między wartością -tej i -tej iteracji kontrakcji dla punktu (korzystając przy tym -krotnie z nierówności trójkąta). Można wykazać, iż ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, a zatem ma granicę (bo jest zupełna). Następnie łatwo już zauważyć, wykorzystując ciągłość funkcji że jego granica jest punktem stałym przekształcenia
Możliwe są inne dowody tego twierdzenia, w tym niekonstruktywne.
Zastosowania Za pomocą tego twierdzenia można wykazać: twierdzenie o funkcji uwikłanej, twierdzenie o funkcji odwrotnej, twierdzenie Stone’a-Weierstrassa, istnienie atraktora układu przekształceń zwężających, zbieżności niektórych algorytmów numerycznych; zob. np. metoda Gaussa-Seidla.
Wykorzystuje się je też m.in. w teorii równań różniczkowych i całkowych.
Uogólnienia W twierdzeniu nie można opuścić założenia zupełności. Istotnie, odwzorowanie jest kontrakcją (niezupełnej) przestrzeni w siebie, pozbawioną punktów stałych.
Nie można też osłabić warunku kontrakcji, zastępując go zmniejszaniem odległości: , dla różnych od siebie . Funkcja zmniejsza odległości punktów (choć nie jest kontrakcją) i nie ma punktu stałego.
Mimo to jeśli przestrzeń jest zwarta, powyższa nierówność zapewnia istnienie i jednoznaczność punktu stałego.
Twierdzenie zachodzi też dla funkcji: z kontraktywną iteracją naturalną; spełnianiających nierówności typu
gdzie jest przekształceniem przedziału w siebie, mającym pewne szczególne własności, takie jak ciągłość, monotoniczność i inne.
Twierdzenia odwrotne Twierdzenie Bessagi Jeśli jest taką funkcją określoną na niepustym zbiorze że każda jej iteracja ma dokładnie jeden punkt stały, to można zmetryzować w sposób zupełny tak, by było kontrakcją względem tej metryki. Stałą kontrakcji może być dowolna liczba z przedziału zadana z góry.
Twierdzenie to jest równoważne pewnikowi wyboru; wykazał je Czesław Bessaga w 1958 roku.
Twierdzenie Meyersa Niech będzie zupełną przestrzenią metryczną, a odwzorowaniem spełniającym następujące warunki: dla pewnego dla każdego istnieje takie otoczenie punktu że dla dowolnego otoczenia tego punktu istnieje taki indeks że dla
Wówczas dla dowolnej stałej istnieje równoważna z metryka zupełna na przy której jest kontrakcją ze stałą .
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa Andrzej Granas, James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, . William A. Kirk, Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London .
Linki zewnętrzne [dostęp 2023-08-24]. Contracting-mapping principle , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
Banacha, Twierdzenie o kontrakcji Banacha, Twierdzenie o kontrakcji Kategoria:Polskie odkrycia matematyczne Kategoria:Stefan Banach