Metoda Galerkina – metoda przybliżonego rozwiązywania problemów z operatorami ciągłymi (np. równania różniczkowe). Opiera się na sprowadzeniu do słabej postaci wariacyjnej, dyskretyzacji przestrzeni funkcji i doprowadzeniu do postaci układu równań liniowych, którego rozwiązanie prowadzi do przybliżonego rozwiązania problemu wyjściowego. Wprowadzenie tej metody przypisywane jest rosyjskiemu matematykowi Borisowi Grigorjewiczowi Galerkinowi.
Szczególnym przypadkiem tej metody jest metoda elementów skończonych.
Idea metody Słaba postać wariacyjna problemu W metodzie Galerkina problem sprowadzany jest do słabej postaci wariacyjnej na przestrzeni Hilberta Znaleźć takie by
Funkcjonał jest tutaj formą dwuliniową a jest ograniczonym operatorem liniowym na
Dyskretyzacja Galerkina Dyskretyzacja Galerkina polega na wybraniu dyskretnej podprzestrzeni wymiaru i rozwiązaniu w tej podprzestrzeni problemu Znaleźć takie by
Ortogonalność w metodzie Galerkina Kluczową własnością metody Galerkina jest to, że błąd jest ortogonalny do wybranej podprzestrzeni. Ponieważ możemy użyć jako wektora próbnego w oryginalnym równaniu. Dla błędów zachodzi:
Postać macierzowa Celem metody Galerkina jest na doprowadzenie do postaci układu równań liniowych i rozwiązanie go. W tym celu tworzona jest macierz tego układu.
Niech stanowią bazę dla przestrzeni Wtedy wystarczy ich użyć jako funkcji próbnych równania Galerkina, tzn. zagadnienie przybiera postać: Znaleźć takie by dla zachodziła równość
Wyrażamy w tej bazie i podstawiamy do powyższego równania, otrzymując
Powyższe równania stanowią układ równań liniowych, który można zapisać jako
gdzie współrzędne macierzy wyrażają się wzorem
zaś elementy wektora prawych stron to
W stosowanych w praktyce wariantach metody Galerkina często forma dwuliniowa jest symetryczna dzięki czemu macierz układu jest macierzą symetryczną co znacznie upraszcza obliczenia.
Bibliografia
Linki zewnętrzne
Kategoria:Metody numeryczne