Hamiltonian (funkcja Hamiltona) – funkcja współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych, opisująca układ fizyczny w sformułowaniu Hamiltona teorii fizycznych„Encyklopedia fizyki” praca zbiorowa, PWN 1973, T. 1, s. 737.
gdzie: – współrzędne uogólnione, – pędy uogólnione (zdefiniowano je niżej), – liczba stopni swobody, – czas.
Hamiltonian wykorzystuje się m.in. do zapisania równań Hamiltona i równania Hamiltona-Jacobiego.
Dla układu hamiltonowskiego hamiltonian jest całką pierwszą.
W mechanice kwantowej odpowiednikiem funkcji Hamiltona jest operator Hamiltona.
Metody otrzymywania funkcji Hamiltona Funkcję Hamiltona otrzymuje się, z wyrażenia na energię całkowitą układu, z funkcji Lagrange’a (za pomocą tzw. transformacji Legendre’a),
przy czym należy zastąpić prędkości występujące w wyrażeniach na energię czy funkcję Lagrange’a za pomocą pędów.
Wyznaczanie funkcji Hamiltona z energii układu Funkcję Hamiltona można otrzymać znając wzór na energię całkowitą układu, przy czym prędkości wyraża się za pomocą pędów.
Punkt materialny (1) Jeżeli cząstka o masie porusza się z prędkością nierelatywistyczną w potencjale to energia całkowita cząstki jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w postaci
Ponieważ to funkcja Hamiltona przyjmuje postać:
(2) Dla cząstki relatywistycznej, swobodnej (tj. nie oddziałującej z żadnym polem potencjału) związek między energią i pędem ma postać
Stąd funkcja Hamiltona ma postać
Oscylator harmoniczny Energia całkowita oscylatora harmonicznego poruszającego się w kierunku ma postać
Stąd funkcja Hamiltona ma postać
Wyznaczanie funkcji Hamiltona z funkcji Lagrange’a Funkcję Hamiltona można otrzymać z funkcji Lagrange’a
gdzie: – współrzędna uogólniona, – prędkość uogólniona, – czas.
Dla każdej prędkości uogólnionej wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony (tzw. pęd kanonicznie sprzężony), zdefiniowany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości uogólnionej
Hamiltonian można znaleźć teraz z funkcji Lagrange’a za pomocą tzw. transformacji Legendre’a
przy czym konieczne jest wyrażenie prędkości uogólnionych występujących w funkcji Lagrange’a przez pędy uogólnione, gdyż funkcja Hamiltona musi być zapisana jako funkcja pędów uogólnionych. Nie dla wszystkich układów taka transformacja jest możliwa.
Przykłady pędów uogólnionych W przypadku współrzędnych kartezjańskich pędy uogólnione są zwykłymi pędami. We współrzędnych walcowych jako jedną ze współrzędnych uogólnionych cząstki przyjmuje się kąt; wtedy prędkość uogólniona jest prędkością kątową, a pęd uogólniony – obliczany jako pochodna funkcji Lagrange’a po prędkości kątowej – okazuje się być momentem pędu cząstki. W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie mieć prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.
Przypisy
Bibliografia W. Królikowski, W. Rubinowicz, Mechanika teoretyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012.
Kategoria:Fizyka matematyczna Kategoria:Wielkości mechaniki analitycznej Kategoria:Wielkości fizyczne nazwane od osób Kategoria:William Rowan Hamilton