mały|300px|Przykład działania reguły znaków: podany wielomian ma w sąsiednich członach dwie zmiany znaków (+4x−15x2, −5x3+3x4) i dwa dodatnie miejsca zerowe (x = 1, 2). mały|Kartezjusz, fr. René Descartes (1596–1650)
Reguła znaków Kartezjusza – twierdzenie algebry dotyczące wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Mówi ono o liczbie dodatnich miejsc zerowych takich funkcji, a w konsekwencji pozwala oszacować też liczby: ujemnych miejsc zerowych; wszystkich rzeczywistych miejsc zerowych; miejsc zerowych z innego zakresu (przedziału).
Czasem ta reguła podaje dokładną liczbę miejsc zerowych w takich przedziałach.
Reguła znaków mówi o wielomianach jednej zmiennej rzeczywistej o rzeczywistych współczynnikach uporządkowanych według malejących potęg zmiennej: Twierdzenie to szacuje liczbę dodatnich pierwiastków tego wielomianu liczonych wraz z krotnością. Reguła znaków wiąże z liczbą zmian znaków między kolejnymi niezerowymi współczynnikami wielomianu; zgodnie z twierdzeniem jest równe lub mniejsze od niego o liczbę parzystą: krótko: W szczególności: jeśli wynosi zero lub jeden, to również wynosi odpowiednio zero lub jeden. Twierdzenie to można udowodnić, korzystając z indukcji matematycznej i analizy rzeczywistej – z własności pochodnych wielomianów i z bardziej ogólnych faktów jak twierdzenia Rolle’a.
Uogólnieniem tego faktu jest twierdzenie Sturma. Znajduje ono liczbę miejsc zerowych wielomianu rzeczywistego w dowolnym przedziale liczbowym – nie tylko w dwóch nieskończonych przedziałach wszystkich liczb dodatnich lub ujemnych
Przykłady Przykład trójmianu kwadratowego W wielomianie
mamy dwie zmiany znaku, zatem nasz wielomian ma zero lub dwa dodatnie pierwiastki. W istocie ma jeden dwukrotny:
Przykład funkcji kubicznej W wielomianie
zachodzi jedna zmiana znaku – między drugim a trzecim składnikiem Stąd wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni. Widać to wyraźnie po rozłożeniu wielomianu na czynniki:
−1 jest pierwiastkiem dwukrotnym, jedynym dodatnim jest 1.
Zmieniając znak na przeciwny przy nieparzystych potęgach wielomianu, otrzymuje się wielomian:
Tu znak zmienia się dwukrotnie, między pierwszym a drugim oraz między trzecim a czwartym składnikiem. Zatem wielomian wyjściowy ma dwa lub zero pierwiastków ujemnych.
Przykład wielomianu 4. stopnia Podobnie, kolejne współczynniki wielomianu:
mają znaki: +, +, −, +, −,, tzn. znak zmienia się trzy razy. Zgodnie z regułą Kartezjusza wielomian ma bądź trzy, bądź jeden pierwiastek dodatni. Ponieważ po zastąpieniu przez pierwiastki wielomianu zmieniają znaki, a po zastąpieniu przez pierwiastki zmniejszają się o to za pomocą reguły Kartezjusza można również oszacować liczbę pierwiastków większych od W powyższym przykładzie zastąpienie przez daje:
tzn. wyjściowy wielomian ma jeden pierwiastek ujemny, a zastąpienie przez daje:
skąd wniosek, że dany wielomian nie ma pierwiastków większych od 1.
Konsekwencje i zastosowania Reguła ta umożliwia też oszacowanie liczby ujemnych pierwiastków wielomianu [dostęp 2022-03-21].. Sprowadza się to do sprawdzenia analogicznej wielkości dla wielomianu czyli po zmianie na przeciwne znaków współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej: Ponadto zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że łączna liczba zespolonych pierwiastków wielomianu – licząc krotności – jest równa jego stopniowi co pozwala znaleźć też liczbę pierwiastków poza osią rzeczywistą Jeśli wszystkie pierwiastki wielomianu są rzeczywiste to Descartes theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2022-03-21]..
Historia Problem ten badał Kartezjusz; w dziele Geometria przedstawił tę regułę, choć pierwszy poświadczony dowód jest późniejszy. Podał go w XVIII wieku Jean Paul de Gua de Malves, a pełne sformułowanie – opisane niżej – podał w XIX wieku Carl Friedrich Gauss. Nazwa reguły pojawiła się najpóźniej w 1809 roku w języku angielskim Jeff Miller, Descartes’ rule of signs, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D) , MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-06-06]..
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne Xiaoshen Wang, A Simple Proof of Descartes’s Rule of Signs , The American Mathematical Monthly, Vol. 111, No. 6 (Jun. – Jul., 2004), pp. 525-526, Taylor & Francis, Ltd. [dostęp 2023-06-05].
Kategoria:Twierdzenia o wielomianach