thumb|250px|Przybliżona oraz dokładna złota spirala: zielona spirala jest zbudowana z ćwiartek okręgów, natomiast czerwona spirala jest złotą spiralą. Pokrywające się fragmenty zaznaczono na żółto. Stosunki długości boków kolejnych kwadratów są równe φ.mały|Samopodobieństwo złotej spirali: spirala ma ten sam kształt przy powiększaniu jej w nieskończoność.
Złota spirala – szczególny przypadek spirali logarytmicznej, w której stały współczynnik zależy od tzw. złotej liczby
Cechą charakterystyczną jest to, że podczas ruchu po spirali z każdym obrotem o 90° jej promień wodzący zwiększa się razy (lub zmniejsza się, gdy porusza się po spirali w kierunku przeciwnym).
Złote spirale są samopodobne, co oznacza, że ich kształt powtarza się w nieskończoność przy powiększaniu. Własność samopodobieństwa jest cechą każdej spirali logarytmicznej.
Znanych jest wiele spirali będących przybliżeniami złotej spirali i często mylonych z nią. Przykładem może być spirala Fibonacciego, która nie jest spiralą logarytmiczną.
Równanie złotej spirali – współrzędne biegunowe
Spirala logarytmiczna Ogólny wzór na spiralę logarytmiczną we współrzędnych biegunowych ma postać
lub równoważnie
gdzie:
– stałe liczby rzeczywiste – podstawa logarytmu naturalnego thumb|250px|Spirala Fibonacciego zbudowana jest z ćwiartek okręgów, których promienie są kolejnymi liczbami Fibonacciego: Jest przybliżeniem złotej spirali, ale nie jest złotą spiralą.
Złota spirala Złota spirala jest szczególnym przypadkiem spirali logarytmicznej: po obrocie o kąt prosty = (wyrażony w radianach) promień punktu spirali zwiększa się -krotnie, gdzie
jest złotą liczbą, tj. mamy warunek:
Po podstawieniu wzoru na dla spirali logarytmicznej otrzymujemy , skąd mamy:
Podstawiając wartości złotej liczby oraz otrzyma się:
Równanie złotej spirali ma więc postać:
przy czym kąt jest wyrażany w radianach.
Uwagi:
a) Parametr może być także ujemny; wtedy tworzy spiralę obracającą się w przeciwną stroną niż dla
b) Jeżeli kąty wyraża się w stopniach, to wartość bezwzględna parametru wynosi: na stopień i równanie spirali ma postać .
Równania parametryczne złotej spirali – współrzędne kartezjańskie Równanie spirali można przekształcić na układ równań parametrycznych we współrzędnych kartezjańskich. Z zależności współrzędnych kartezjańskich od
otrzymamy równania parametryczne spirali logarytmicznej:
gdzie – stałe, – parametr równań.
Podstawiając do tych równań otrzymamy równania parametryczne złotej spirali.
Własności złotej spirali W artykule spirala logarytmiczna zestawiono własności typowe dla wszystkich spirali logarytmicznych. Własności te dotyczą m. in. złotej spirali, która jest spiralą logarytmiczną o parametrze .
Kreślenie spirali Jeśli spirala ma równanie to jej kreślenie spirali można zacząć od punktu . Wtedy mamy cztery możliwe przypadki:
a) Dla oraz promień spirali rośnie do nieskończoności Jeżeli zaczniemy rysowanie spirali od punktu , to dla spirala będzie rozwijać się, oddalając się coraz bardziej od bieguna (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara)
Dla oraz promień spirali maleje do zera (). Jeżeli zaczniemy rysowanie spirali od punktu , to dla spirala będzie zwijać się, zbliżając się coraz bardziej do bieguna (zgodnie z ruchem wskazówek zegara)
b) Dla będzie odwrotnie: dla spirala będzie rosła nieograniczenie, ale zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a dla będzie zwijać się do środka, ale przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
Kod do wykreślenia złotej spirali Podany niżej kod w języku Python korzysta z biblioteki graficznej Matplotlb i rysuje trzy złote spirale o parametrze i parametrach zadanych w linii 5 kodu. Parametr określa ile razy będzie kreślona połówka skrętu spirali. Zmieniając parametry, można przetestować wyżej podane własności spirali; np. zmieniając znak parametru zmienimy skrętność na przeciwną; dla otrzymamy jeden zwój spirali; zwiększając zobaczymy, że kreślone są zwoje, które "wchodzą" w stronę środka spirali lub rozwijają się i oddalają od środka w zależności od znaku parametrów .import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Dane: b = 0.306349 # parametr 'b' dla złotej spirali a = [0.1, 0.15, 0.2] # parametry 'a' dla 3 zotych spirali n = 10 # liczba połówek spirali/2=liczba obrotów c = ['blue', 'orange', 'green'] # kolory 3 spirali
# Obliczenia: t = np.linspace(0, n*np.pi, abs(n)*1000) fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
for i, (ai, col) in enumerate(zip(a, c), 1): r = ai * np.exp(b * t) x, y = r*np.cos(t), r*np.sin(t) plt.plot(x, y, color=col, label=f"a = {ai}") plt.scatter(x, y, color=col, s=80, marker='o') # kółka na początku plt.annotate("", xy=(x[-1], y[-1]), xytext=(x[-10], y[-10]), arrowprops=dict(arrowstyle="->", color=col, lw=2))
znak = (r"b > 0, φ > 0 (r → +∞)" if (b > 0 and n > 0) else r"b > 0, φ < 0 (r → 0)" if (b > 0 and n < 0) else r"b < 0, φ > 0 (r → 0)" if (b < 0 and n > 0) else r"b < 0, φ < 0 (r → +∞)")
plt.gca().set_aspect('equal') plt.grid() plt.legend(fontsize=16) plt.title(f"Złote spirale, {znak}", fontsize=20)
# --- DODANE: legenda symboli pod wykresem --- plt.text( 0.5, -0.12, "o — start spirali ▶ — koniec spirali", transform=plt.gca().transAxes, ha='center', fontsize=16 ) plt.tick_params(axis='both', labelsize=18) plt.show()
Zobacz też ciąg Fibonacciego spirala spirala logarytmiczna złoty podział Bibliografia W języku polskim: I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 2019, str. 129-130. I. Dziubiński, T. Świątkowski i inni, praca zbiorowa, Poradnik matematyczny cz. 2, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, str. 748-749. W języku angielskim:
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-19]. Golden Spiral demonstracja autorstwa Yu-Sung Chang, The Wolfram Demonstrations Project
Kategoria:Spirale Kategoria:Złoty podział