thumb|300px|Paczka falowa nieulegająca dyspersji. thumb|300px|Paczka falowa ulegająca dyspersji. Grzbiety fali poruszają się szybciej niż paczka falowa, co odpowiada temu że prędkość fazowa jest większa od prędkości grupowej.
Paczka falowa, pakiet falowy – fala skupiona w ograniczonym obszarze przestrzeni.
Pojęcie używane w do opisu rozprzestrzeniania się fal o skończonym czasie trwania. W mechanice kwantowej pakiety falowe opisują fale materii„Encyklopedia fizyki” praca zbiorowa, PWN 1973 t. 2 s. 638.
W przeciwieństwie do nieskończonych (niezlokalizowanych) fal, paczka falowa jest zaburzeniem zlokalizowanym, przemieszcza się w przestrzeni i przenosi informacje i energię, a prędkość, z jaką to się odbywa, zwana jest prędkością grupową.
Swobodną paczkę falową można traktować jako superpozycję (złożenie) harmonicznych fal płaskich o różnych częstotliwościach.
Podejście matematyczne Przykładem propagacji (rozchodzenia się) fali bez dyspersji jest fala płaska będąca rozwiązaniem równania falowego postaci:
gdzie: – prędkość propagacji fali w danym ośrodku, – zmienna charakteryzująca chwilową amplitudę fali w punkcie w chwili
Rozwiązaniem powyższego równania różniczkowego jest funkcja propagacji fali płaskiej:
gdzie: – jednostka urojona, – wektor falowy, – pulsacja (częstość kołowa),
Kwadrat długości wektora falowego w przypadku przestrzeni 3-wymiarowej jest sumą kwadratów liczb falowych względem poszczególnych osi:
Natomiast kwadrat pulsacji może być zapisany jako:
Powyższa relacja pomiędzy a jest prawdziwa, jeśli dana fala płaska jest rozwiązaniem równania falowego. Równanie to opisuje dyspersję fali w ośrodku materialnym.
Można uprościć to rozwiązanie, wybierając układ współrzędnych w taki sposób, aby fala płaska rozchodziła się w kierunku Rozwiązanie równania falowego przyjmuje wtedy postać:
w którym:
Pierwszy człon powyższego równania reprezentuje propagację fali w kierunku dodatnich jako że jest funkcją Drugi człon, będący funkcją reprezentuje propagację fali w kierunku ujemnych wartości
Jeśli paczka falowa jest silnie zlokalizowana, oznacza to, że ma więcej składowych koniecznych do konstruktywnej interferencji w obszarze paczki, i destruktywnej interferencji w obszarze gdzie następuje wygaszenie.
Przechodząc z dziedziny czasu do dziedziny pulsacji dokonuje się unitarnej transformacji Fouriera i otrzymuje się uogólnioną postać paczki falowej, poprawną z punktu widzenia podstawowego rozwiązania w 1-wymiarowej przestrzeni:
W przypadku gdy:
paczka porusza się w kierunku dodatnim, oraz w kierunku ujemnym gdy:
Czynnik stojący przed całką pojawia się tutaj przez wykonanie transformacji Fouriera. Amplituda w tym wzorze jest przez zależność dyspersyjną funkcją Zawiera ona współczynniki liniowych superpozycji fal płaskich. Współczynniki te mogą zostać wyrażone jako funkcja ewaluowana w granicy przy z relacji wynikającą z odwrotnej transformacji Fouriera:
Przypisy
Bibliografia http://www.if.pw.edu.pl/~pluta/pl/dyd/plg/w-fiz/w22/segment3/main.htm https://web.archive.org/web/20090404160014/http://physics.usask.ca/~hirose/ep225/animation/dispersion/anim-dispersion.html
Kategoria:Rodzaje fal